Na kryształ o symetrii układu regularnego w kierunku [110] pada polichromatyczna wiązka promieniowania rentgenowskiego.
Pod jakim kątem ugięcia, 2θ, zaobserwujemy refleks -4 -2 4?
A. Olczak
Na kryształ o symetrii układu regularnego w kierunku [110] pada polichromatyczna wiązka promieniowania rentgenowskiego.
Pod jakim kątem ugięcia, 2θ, zaobserwujemy refleks -4 -2 4?
A. Olczak
To ciekawe pytanie. No cóż, skoro promieniowanie jest polichromatyczne równanie Bragga trudno byłoby zastosować bezpośrednio. Jak jednak wiadomo kąt odbicia równa się kątowi padania a więc chyba wystarczy policzyć kąt kierunku [110] w stosunku do płaszczyzny (-4 -2 4) i go podwoić, bo kąt ugięcia będzie dwa razy większy od kąta połysku. (Właściwie indeksy te mają wspólny podzielnik, więc nie definiują płaszczyzny węzłowej w sieci prymitywnej, tzn. przechodzącej przez węzły tej sieci. Równoległa do niej płaszczyzna węzłowa to (-2 -1 2) więc równie dobrze można liczyć kąt dla niej.) Można dodatkowo zadać pytanie dla jakiej długości fali wystąpi konstruktywna interferencja w tym układzie orientacji wiązka – kryształ. Teraz nie będzie obojętne czy to refleks (-4 -2 4) czy (-2 -1 2). Pozostało wykonać rachunki.
No właśnie, pytanie o długość fali jest ciekawe. Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby: albo bezpośrednio jak zaproponowałeś, albo przez obliczenie długości fali i zastosowanie prawa Bragga.
Zadałbym jeszcze jedno dodatkowe pytanie: czy istnieją inne refleksy, które nakładają się idealnie na refleks -4 -2 4 tzn. na detektorze zostałyby zarejestrowane jako jeden refleks?
No, dobrze. Czas na obiecane rachunki. Obliczmy kąt między kierunkiem padania promieni a = [110] i normalną do płaszczyzny n = (-4 -2 4). Cosinus kąta między wektorami a i n wyznaczymy klasycznie cos(a,n) = an/(|a||n|).
Długości wektorów:
|a| =(1+1)1/2 = pierw(2)
|n| = (42+22+42)1/2 = 6.
Iloczyn skalarny an = -4 -2 + 0 = -6.
Mamy więc cos(α) = -1/pierw(2) , skąd α = 135 ° . Kąt padania θ jest uzupełnieniem do 180 a więc 45 °. Bezpośrednia odpowiedź na pytanie o kąt ugięcia jest więc 2 θ = 90 °.
My jednak podrążymy temat i zobaczymy dla jakich długości fali to nastąpi.
Najpierw obliczymy odległości międzypłaszczyznowe d dla (-4 -2 4). Nie znamy wartości stałej sieciowej a więc otrzymamy zależność d(-4 -2 4) = a/(h2 + k2 + l2)1/2 = a/6. Po wstawieniu do wzoru Bragga mamy: n λ = 2 d sin(θ) = 1/3 a sin(θ). Wiemy jednak, że θ wynosi 45 ° czyli sin(θ) = pierw(2)/2. Możemy więc obliczyć długość fali, jeśli znamy stałą sieciową λ = pierw(2)/6 a/n.
Przykładowo dla NaCl a = 5,64 A, otrzymujemy n = 1 λ = 1,329A; n = 2 λ = 0,665 A; n = 3 λ = 0,443 A itd. Pewnie dla większych wartości n wyjdziemy poza zakres promieniowania X.
Zagadka ta jest dobrą ilustracją idei monochromatyzacji wiązki poprzez wykorzystanie odbicia od konkretnych płaszczyzn odpowiednio zorientowanego monokryształu.
Bardzo pięknie. Mam tylko jedną uwagę. Rząd ugięcia, n, już dla samego dla refleksu (-4 -2 4) wynosi 2. No i pozostaje jeszcze pytanie czy istnieją inne refleksy, które nakładają się idealnie na refleks (-4 -2 4) tzn. na detektorze zostałyby zarejestrowane z refleksem (-4 -2 4) jako jeden refleks?
I jeszcze jedno: czy dałoby się całe rozumowanie powtórzyć dla np. refleksu (4 2 -4) ?
No tak, sam pisałem o tym, że (-4 -2 4) nie jest płaszczyzną węzłową, a potem to pominąłem. To jednak łatwo skorygować. Bierzemy kąt 45 ° oraz odległości międzypłaszczyznowe dla (-2 -1 2) czyli d = a/3. Wychodząc z n λ = 2 d pierw(2)/2 otrzymujemy λ = pierw(2)/3 a/n.
Aby spełnić warunki zadania bierzemy n = 2, czyli mamy λ = pierw(2)/6 a.
Przykład z NaCl jest więc niepoprawny i chociaż podane długości fali dadzą spodziewaną dyfrakcję, to będzie ich dwa razy za mało.
Może teraz odpowiem szybko na ostatnią kwestię odnośnie refleksu 4 2 -4. Łatwo się zorientować, że wówczas kąt padania wynosiłby 135 ° a kąt ugięcia dwa razy 135 = 270 ° > 180, co wg mnie nie jest możliwe.
Ostatnie pytanie jest jak gdyby odwróceniem zagadnienia. Do tej pory ta sama płaszczyzna dawała refleksy różnego rzędu z różnymi długościami fali. Pytanie więc jest właściwie o to czy istnieją inne płaszczyzny, dla których występuje ten sam kąt padania wiązki. Wygląda na to, że zamiana pierwszych indeksów nic nie zmieni: (-1 -2 2) a czy są inne, to odpowiem w następnym komentarzu.
Oj, jak to często w tych zadaniach ostatnio bywa, rozwiązania zaczynają się mnożyć. Moje typy to (-2 -9 6), (-9 -2 6) , (-3 -6 6) oraz (-6 -3 6), (-2, -16, 8) (-4 -8 8) itd. Część to kolejne rzędy dla (-1 -2 2) lub (-2 -1 2) ale druga część nie daje się do tego sprowadzić. Czyżby znowu nieskończona (ale przeliczalna) liczba rozwiązań? No i dodatkowo powstaje pytanie, czy te nowe niezależne refleksy, mimo właściwego kąta ugięcia, będą nakładały się na detektorze z naszym refleksem (-4 -2 4)?
Tych rozwiązań jest zdecydowanie za dużo. Oczywiście dla każdego z tych refleksów mamy ten sam kąt 2θ, ale to nie znaczy, że wszystkie z nich zostaną zarejestrowane w tym samym położeniu na detektorze co refleks -4 -2 4.
Prawo Bragga to nie tylko równanie Bragga, ale dodatkowy warunek, że promień padający, promień rozproszony i wektor normalny do płaszczyzny odbicia leżą w jednej płaszczyźnie.
Aby policzyć długość fali dla której nastąpi dyfrakcja dla refleksu hkl skorzystajmy z warunku Lauego w postaci wektorowej:
Δ s = H,
gdzie Δ s jest wektorem dyfrakcji (s – s0), a H jest wektorem sieci odwrotnej. Przenosząc s0 na prawą stronę tego równania i podnosząc stronami do kwadratu (w sensie iloczynu skalarnego) otrzymamy po uproszczeniach równanie:
–H2 = 2H·s0,
gdzie “·” oznacza iloczyn skalarny. Wektor s0 opisujący wiązkę padającą można przedstawić w postaci s0 = 1/λ R/R (w liczniku wektor R = [mnp], a w mianowniku jego długość). Iloczyn skalarny H·R = hm +kn +lp. Stąd długość fali λ można wyrazić jako:
λ = – 2(hm+kn+lp)/(H2R).
Dla danych z zadania wektor R = [110] a refleks ma indeksy -4 -2 4. Po podstawieniu otrzymujemy:
λ = pierwiastek(2) a/6.
Może dodajmy dla celów dydaktycznych, że refleks o indeksach -4 -2 4 jest odbiciem drugiego rzędu od płaszczyzny (-2 -1 2). Płaszczyzna o indeksach Millera (-4 -2 4) nie byłaby płaszczyzną sieciową tzn. “starannie” unikałaby punktów węzłowych. Ilustruje to poniższy rysunek, na którym pominięto trzecią współrzędną.
Tak więc żądanie, aby wskaźniki Millera były liczbami względem siebie pierwszymi, nie jest tylko wymogiem formalnym, ale jest warunkiem koniecznym występowania płaszczyzn węzłowych (w sieciach niecentrowanych). W związku z tym każdej trójce liczb całkowitych odpowiada jakiś refleks w sieci odwrotnej, ale nie każdej trójce liczb odpowiada rodzina płaszczyzn węzłowych o tych samych indeksach.
Mam nadzieję, że autor zagadki zgodzi się z poniższym podsumowaniem:
a) refleks -4 -2 4 zaobserwujemy dla długości fali λ=pierwiastek(2)/6 a,
b) w tym samym miejscu na detektorze można zaobserwować refleksy dla innych rzędów odbicia czyli n*[-2 -1 2] (dla n całkowitego innego niż 2) ale spowoduje to zmianę indeksów refleksu i nastąpi dla innych długości fali niż podana powyżej.
Nic dodać, nic ująć.