12 myśli nt. „Zag. 29. Co oznacza ten kod symetrii?”

  1. Dziękuję za to pytanie. Pokazuje ono, że dla osi symetrii nie leżących równolegle do osi układu współrzędnych nie tak łatwo zgadnąć czy oś jest zwykła czy śrubowa.
    Na początek możemy skorzystać z naszego serwisu w zakładce <Dydaktyka><Rozpoznawanie symetrii> i przekonać się, że program rozpoznał ten kod jako operację obrotu o 180 stopni. Odbyło się to na podstawie wyznacznika i śladu odpowiedniej macierzy, {{-1 0 0}{0 0 1}{0 1 0}}, i nie budzi kontrowersji. Jednak podany wektor ślizgowy ma składowe 1/2b i 1/2c, co oznacza, że wektor translacji śrubowej jest wzdłuż przekątnej (b+c).
    Łatwo można się przekonać, że kwadrat operacji wyjściowej daje translację o wektor 1b + 1c, tak więc nie może to być zwyczajny obrót. Taki jest zresztą algorytm określania charakteru rotacji w podanym programie oraz wielkości wektora śrubowego (lub ślizgowego).

    Można tu jeszcze dodać analizę podprzestrzeni niezmienniczych tej operacji.

  2. Mam jeszcze pytanie dodatkowe: jak jest położona oś, o której mowa w pytaniu, w stosunku do początku układu współrzędnych?

    1. No właśnie, już dodaję wyjaśnienia. Aby wyznaczyć podprzestrzeń niezmienniczą wypisujemy trzy równania, zapewniające, że współrzędna przed i po transformacją nie ulegnie zmianie. W naszym przypadku mamy operację (3/4-x, 1/4+z, 3/4+y), czyli:
      x’ = 3/4-x,
      y’ = 1/4+z,
      z’ = 3/4+y
      Wstawiamy x’ = x, y’ = y i z’ = z i rozwiązujemy układ równań.
      Oczywiście dla osi śrubowej nie mamy żadnych rozwiązań, bo otrzymujemy sprzeczności, np. y = 1/4 +z = 1 +y. Jedynie x jest zdefiniowany jako 2x = 3/4, czyli x = 3/8.
      Jednak, po odjęciu operacji translacji śrubowej 1/2(b+c), otrzymamy układ równań dla zwykłej osi obrotu:
      x’ = 3/4 – x,
      y’ = -1/4 + z,
      z’ = 1/4 + y
      który da nam układ nieokreślony x = 3/8, y = y, z = 1/4 +y. Mamy jeden parametr dowolny dla y, nazwijmy go t. Tak więc podprzestrzeń niezmiennicza będzie linią prostą (osią symetrii) o równaniu

      |x|  |3/8|    |0|
      |y| =| 0 | + t|1|
      |z|  |1/4|    |1|
      

      czyli linią prostą, leżącą równolegle do wektora b+c i przechodzącą przez punkt (3/8 0 1/4).
      Mam nadzieję, że nie pomyliłem się w rachunkach.

        1. A ja jednak dodam pytanie dodatkowe. Czy tego typu osie dwukrotne, działające po przekątnej, mogą się pojawiać we wszystkich układach krystalograficznych?

          1. I to jest bardzo dobre pytanie. Chodziło mi po głowie podobne: dlaczego w układzie regularnym nie ma trójkrotnych osi śrubowych?

  3. No tak. To nie jest aż tak dobre pytanie, bo w układzie regularnym są możliwe osie trójkrotne śrubowe np. 31 (oczywiście działające równolegle do przekątnej).
    Proszę spróbować kod symetrii y, z, x+1, albo wyświetlić jakąś strukturę z grupy P432. Ponownie, Mercury wyświetla osie śrubowe i ich położenie ale nie podaje kodów symetrii na liście.
    Do rozwikłanie mojego pytania dobrze jest przypomnieć sobie jakie są kierunki symetrii definiowane w poszczególnych ukłądach współrzędnych.

    1. No faktycznie, osie 3(1) są dość popularne w układzie regularnym. Musiałem mieć jakieś zaćmienie sugerując coś wręcz przeciwnego.

      1. Pewnie chciałeś nawiązać do pytania nr 3 o osie inwersyjno- śrubowe. Tych faktycznie nie ma.
        Swoją drogą jest ciekawe, że operacje (y, z, x+1) oraz (y+1/3, z+1/3, x +1/3) dają w trzeciej potędze tę samą translację o [111], ale są przecież różne, dlaczego tak jest?

        1. Jedyne co mi przychodzi do głowy, to to, że obie te osie choć równoległe są przesunięte względem siebie.

          1. Oczywiście, całkiem słusznie. Pozostawię dociekliwości czytelników uzasadnienie, że pierwsza oś przechodzi przez (-2/3, -1/3, 0) a druga przez (0, 0, 0). Wszystko już zostało powiedziane we wcześniejszych postach. Jednak, w przypadku, gdy pod Mercurym nie zobaczymy operacji obrotu śrubowego z translacjami 1/3, widzimy, że osie śrubowe 31 będą musiały >>unikać<< przechodzenia przez początek układu współrzędnych. Czyli jednak te osie nie mogą występować w pewnych miejscach. Po prostu operacje takie nie pojawią się w grupie po dodaniu całkowitych translacji. Pewnie dwukrotne osie śrubowe biegnące po przekątnej mają podobne miejsca wzbronione.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Antyspam * Time limit is exhausted. Please reload CAPTCHA.