Zag. 32. Wskaźniki Millera płaszczyzny

W pewnej sieci o prymitywnej komórce elementarnej końce trzech wektorów sieciowych [3-11], [10-2] oraz [-2-11] wyznaczają pewną płaszczyznę sieciową.
Jakie są wskaźniki Millera (hkl) tej płaszczyzny? Ile płaszczyzn sieciowych z rodziny płaszczyzn o tych wskaźnikach leży między zadaną płaszczyzną a początkiem układu współrzędnych?

A. Olczak

3 myśli nt. „Zag. 32. Wskaźniki Millera płaszczyzny”

  1. To ciekawe zadanie, choć wymaga dość długich rachunków.
    Końce wektorów możemy przyjąć jako punkty A B i C. Aby uzyskać równanie płaszczyzny przechodzącej przez te punkty można obliczyć najpierw wektor normalny do płaszczyzny jako iloczyn wektorowy dwóch wektorów leżących na tej płaszczyźnie np. AB x BC.
    Mamy: AB = [-2 1 -3] oraz BC = [-3 -1 3]
    Iloczyn wektorowy AB x BC = [ 0 15 5]
    (wyznacznik macierzy w której wierszami sa ijk, AB i BC)
    Równanie płaszczyzny otrzymamy przez warunek prostopadłości wektora bieżącego (np. BX: (1-x, 0-y, -2-z) ) oraz normalnego.
    Otrzymujemy równanie -3y -z = 2.
    Wiedząc, że ogólne równanie płaszczyzny dane jest jako
    hx+ky+lz = n
    wnioskujemy, że indeksy Millera to (0 -3 -1) a prawa strona mówi, że to równanie drugiej płaszczyzny w rodzinie licząc od środka.

  2. To zadanie można rozwiązać w jeszcze jeden sposób.
    Ponieważ płaszczyzna przechodzi przez trzy zadane punkty, to oczywiście ich współrzędne muszą spełniać równanie tej płaszczyzny, czyli hx+ky+lz = n. Można więc zapisać trzy równania:
    3h-k+l=n
    h-2l=n
    -2h-k+l=n
    które dają rozwiazanie: h=0, k=-3/2, l=-1/2n, Po wstawieniu do równania płaszczyzny otrzymamy po skróceniu przez 1/2n:
    0x-3y-1z=2.

    1. Tak, to rzeczywiście prostszy sposób. Dodam tylko, że na pierwszy rzut oka sprawa wydaje się beznadziejna, bo mamy trzy równania i cztery niewiadome, ale sytuację ratuje informacja, że współczynniki w równaniu muszą być liczbami całkowitymi (równanie diofantyczne) i to nie mającymi wspólnego podzielnika. Trochę przypomina to znajdowanie współczynników w równaniach reakcji chemicznych metodą algebraiczną :-). Dobrze byłoby więc pamiętać, aby w przyszłości przy rozwiązywaniu układu równań tego typu, raczej zostawiać ułamki zwykłe i nie zamieniać zbyt wcześnie na rozwinięcia dziesiętne. Ułatwi to znalezienie właściwego rozwiązania w zbiorze liczb całkowitych.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Antyspam * Time limit is exhausted. Please reload CAPTCHA.