W pewnej sieci o prymitywnej komórce elementarnej końce trzech wektorów sieciowych [3-11], [10-2] oraz [-2-11] wyznaczają pewną płaszczyznę sieciową.
Jakie są wskaźniki Millera (hkl) tej płaszczyzny? Ile płaszczyzn sieciowych z rodziny płaszczyzn o tych wskaźnikach leży między zadaną płaszczyzną a początkiem układu współrzędnych?
A. Olczak
To ciekawe zadanie, choć wymaga dość długich rachunków.
Końce wektorów możemy przyjąć jako punkty A B i C. Aby uzyskać równanie płaszczyzny przechodzącej przez te punkty można obliczyć najpierw wektor normalny do płaszczyzny jako iloczyn wektorowy dwóch wektorów leżących na tej płaszczyźnie np. AB x BC.
Mamy: AB = [-2 1 -3] oraz BC = [-3 -1 3]
Iloczyn wektorowy AB x BC = [ 0 15 5]
(wyznacznik macierzy w której wierszami sa ijk, AB i BC)
Równanie płaszczyzny otrzymamy przez warunek prostopadłości wektora bieżącego (np. BX: (1-x, 0-y, -2-z) ) oraz normalnego.
Otrzymujemy równanie -3y -z = 2.
Wiedząc, że ogólne równanie płaszczyzny dane jest jako
hx+ky+lz = n
wnioskujemy, że indeksy Millera to (0 -3 -1) a prawa strona mówi, że to równanie drugiej płaszczyzny w rodzinie licząc od środka.
To zadanie można rozwiązać w jeszcze jeden sposób.
Ponieważ płaszczyzna przechodzi przez trzy zadane punkty, to oczywiście ich współrzędne muszą spełniać równanie tej płaszczyzny, czyli hx+ky+lz = n. Można więc zapisać trzy równania:
3h-k+l=n
h-2l=n
-2h-k+l=n
które dają rozwiazanie: h=0, k=-3/2, l=-1/2n, Po wstawieniu do równania płaszczyzny otrzymamy po skróceniu przez 1/2n:
0x-3y-1z=2.
Tak, to rzeczywiście prostszy sposób. Dodam tylko, że na pierwszy rzut oka sprawa wydaje się beznadziejna, bo mamy trzy równania i cztery niewiadome, ale sytuację ratuje informacja, że współczynniki w równaniu muszą być liczbami całkowitymi (równanie diofantyczne) i to nie mającymi wspólnego podzielnika. Trochę przypomina to znajdowanie współczynników w równaniach reakcji chemicznych metodą algebraiczną :-). Dobrze byłoby więc pamiętać, aby w przyszłości przy rozwiązywaniu układu równań tego typu, raczej zostawiać ułamki zwykłe i nie zamieniać zbyt wcześnie na rozwinięcia dziesiętne. Ułatwi to znalezienie właściwego rozwiązania w zbiorze liczb całkowitych.