Zag 33. Położenie osi inwersyjnych

Pewna operacja symetrii opisana jest kodem (y, -x+y, 1-z). Na podstawie analizy śladu i wyznacznika macierzy tej operacji można zorientować się, że odpowiada to działaniu trójkrotnej osi inwersyjnej. Jak wyznaczyć kierunek tej osi?

J.Chojnacki

2 myśli nt. „Zag 33. Położenie osi inwersyjnych”

  1. Jak łatwo się domyśleć, macierz powyższego przekształcenia (po pozbyciu się translacji o 1 wzdłuż osi OZ) jest następująca:

     0  1  0
    -1  1  0
     0  0 -1 
    

    Zmieniając znaki wszystkich wyrazów tej macierzy otrzymamy macierz odpowiadającą obrotowi właściwemu (wyznacznik = 1) o 120 °. Następnie rozwiązując równanie własne

     |0  -1  0||x|=|x|
     |1  -1  0||y|=|y|
     |0   0  1||z|=|z|
    

    które musi być spełnione dla punktów leżących na osi obrotu,
    otrzymujemy: –y = x, x-y = y, z = z. W efekcie x = 0, y = 0 oraz z może przyjmować dowolną wartość, co oznacza, że obrót następuję wokół osi OZ.

  2. Bardzo dobrze. Wyznaczanie kierunku należy poprzedzić (oprócz usunięcia translacji) mnożeniem przez macierz inwersji, bo inaczej z równania własnego otrzymamy współrzędne środka symetrii.
    P.S. Można też zastosować bardziej automatyczną metodę i znaleźć wektor własny dla wartości własnej równej jeden. Dla leniwych oznacza to wpisanie do serwisu WolframAlpha końcowej macierzy
    {{0, -1, 0}, {1,-1,0},{0, 0, 1}} i stwierdzenie że w rozkładzie M = SJS-1, wartości własnej 1 (pierwsza na diagonali w J) odpowiada wektor własny [0 0 1]T będący pierwszą kolumną macierzy S. Proszę sprawdzić skuteczność metody dla innej osi obrotu 3 opisanej kodem (-y, z, -x).

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Antyspam * Time limit is exhausted. Please reload CAPTCHA.