Zagadka nr 34

W układzie heksagonalnym dwukrotna oś śrubowa przebiega równolegle do kierunku [210]. Jej położenie wyznaczone jest przez wektor prostopadły do tej osi i równy -1/4 b + 1/4 c (co oznacza, że nie przechodzi ona przez początek układu współrzędnych, ale przechodzi przez punkt o współrzędnych 0,-1/4,1/4). Jakie będą współrzędne punktu P’ otrzymanego z punktu P o współrzędnych x,y,z po dokonaniu opisanego obrotu śrubowego?

A. Olczak

4 komentarze do “Zagadka nr 34”

  1. Wg mnie oś zwykła obrotu w kierunku [2 1 0] musi mieć postać
    (x, x-y, -z). Wynika to z relacji niezmienniczości:
    x’ = x; y’ = x-y; z’ = -z, co daje 2y = x i z = 0, czyli wektor kierunkowy [2 1 0].
    Podniesienie na wysokość 1/4 c nie stanowi problemu:
    (x, x-y, -z+1/2). Pozostaje przesunięcie w stronę y do -1/4b i “uśrubowienie”.

  2. To też nie jest problem: przesunięcie osi do -1/4b realizuje dodanie -1/2 do drugiej współrzędnej dając kod:
    (x, x-y – 1/2, -z+1/2).
    No i najciekawsze: dla uzyskania efektu śrubowego wystarczy dodać jedynkę do współrzędnej x:
    (x+1, x-y – 1/2, -z+1/2).
    Można sprawdzić (np. przez wykonanie kwadratu operacji), że po dwóch operacjach obrotu otrzymamy punkt przesunięty o (2 1 0) czyli translację sieciową.

    1. Oj, rzeczywiście. O ile oś obrotu jest wyznaczona prawidłowo to “uśrubowienie” wymaga dodania połowy wektora translacji sieciowej w kierunku [2 1 0] czyli (1 1/2 0) co powoduje, że znika -1/2 ze wzoru dla drugiej współrzędnej i otrzymujemy zgodnie kod symetrii dla osi śrubowej:
      (x+1, x-y, -z +1/2).
      Jest to zgodne z ogólną zasadą, że po n-krotnym zastosowaniu obrotu N musimy znaleźć się albo w tym samym miejscu, albo w punkcie równoważnym translacyjnie, czyli lokalnie z tymi samymi współrzędnymi ale w innej komórce elementarnej, z czym mamy do czynienia w przypadku osi śrubowych. Gwarantuje to zgodność operacji symetrii z siecią translacyjną.
      Mój wcześniejszy komentarz, że wystarczy tylko dodać jedynkę na pierwszej współrzędnej jest niepoprawny, bo wówczas translacja (1 0 0) jest interpretowana jako dodanie ślizgu i przesunięcie osi i otrzymalibyśmy oś śrubową jednocześnie dodatkowo przesuniętą równolegle o (0, -1/4, 0).
      Płynie stąd ważny wniosek, że w osich śrubowych biegnących po przekątnych (lub ogólnie nie równolegle do osi głównych) w układach tetragonalnym i heksagonalnym translacja śrubowa może przybierać wartości inne niż klasycznie dla osi równoległych do wektorów bazowych. Tym niemniej, dla osi dwukrotnych będzie to zawsze połowa długości wektora będącego kierunkiem działania osi.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Antyspam * Time limit is exhausted. Please reload CAPTCHA.