W układzie heksagonalnym dwukrotna oś śrubowa przebiega równolegle do kierunku [210]. Jej położenie wyznaczone jest przez wektor prostopadły do tej osi i równy -1/4 b + 1/4 c (co oznacza, że nie przechodzi ona przez początek układu współrzędnych, ale przechodzi przez punkt o współrzędnych 0,-1/4,1/4). Jakie będą współrzędne punktu P’ otrzymanego z punktu P o współrzędnych x,y,z po dokonaniu opisanego obrotu śrubowego?
A. Olczak
Wg mnie oś zwykła obrotu w kierunku [2 1 0] musi mieć postać
(x, x-y, -z). Wynika to z relacji niezmienniczości:
x’ = x; y’ = x-y; z’ = -z, co daje 2y = x i z = 0, czyli wektor kierunkowy [2 1 0].
Podniesienie na wysokość 1/4 c nie stanowi problemu:
(x, x-y, -z+1/2). Pozostaje przesunięcie w stronę y do -1/4b i “uśrubowienie”.
To też nie jest problem: przesunięcie osi do -1/4b realizuje dodanie -1/2 do drugiej współrzędnej dając kod:
(x, x-y – 1/2, -z+1/2).
No i najciekawsze: dla uzyskania efektu śrubowego wystarczy dodać jedynkę do współrzędnej x:
(x+1, x-y – 1/2, -z+1/2).
Można sprawdzić (np. przez wykonanie kwadratu operacji), że po dwóch operacjach obrotu otrzymamy punkt przesunięty o (2 1 0) czyli translację sieciową.
Ciekawa rzecz, bo z moich obliczeń wychodzi nieco inna odpowiedź: (x+1, x-y, -z+1/2).
Oj, rzeczywiście. O ile oś obrotu jest wyznaczona prawidłowo to “uśrubowienie” wymaga dodania połowy wektora translacji sieciowej w kierunku [2 1 0] czyli (1 1/2 0) co powoduje, że znika -1/2 ze wzoru dla drugiej współrzędnej i otrzymujemy zgodnie kod symetrii dla osi śrubowej:
(x+1, x-y, -z +1/2).
Jest to zgodne z ogólną zasadą, że po n-krotnym zastosowaniu obrotu N musimy znaleźć się albo w tym samym miejscu, albo w punkcie równoważnym translacyjnie, czyli lokalnie z tymi samymi współrzędnymi ale w innej komórce elementarnej, z czym mamy do czynienia w przypadku osi śrubowych. Gwarantuje to zgodność operacji symetrii z siecią translacyjną.
Mój wcześniejszy komentarz, że wystarczy tylko dodać jedynkę na pierwszej współrzędnej jest niepoprawny, bo wówczas translacja (1 0 0) jest interpretowana jako dodanie ślizgu i przesunięcie osi i otrzymalibyśmy oś śrubową jednocześnie dodatkowo przesuniętą równolegle o (0, -1/4, 0).
Płynie stąd ważny wniosek, że w osich śrubowych biegnących po przekątnych (lub ogólnie nie równolegle do osi głównych) w układach tetragonalnym i heksagonalnym translacja śrubowa może przybierać wartości inne niż klasycznie dla osi równoległych do wektorów bazowych. Tym niemniej, dla osi dwukrotnych będzie to zawsze połowa długości wektora będącego kierunkiem działania osi.