Jednym z zadań treningowych opublikowanych dla przygotowujących się do Olimpiady Krystalograficznej jest rozpoznanie operacji symetrii na podstawie macierzy, reprezentującej tę operację. Zwykle te macierze są proste i zawierają tylko 0, 1 i -1. Problem polega na tym, że w zależności od położenia elementu symetrii względem osi ta sama operacja symetrii może być opisana różnymi macierzami. Jak więc sobie radzić?
Po pierwsze można pomnożyć macierz kilkukrotnie przez siebie i zobaczyć dla jakiej potęgi uzyskamy identyczność. Odpowiada to wykonywaniu złożenia kilku operacji symetrii. Tak można łatwo odróżnić os siebie macierze opisujące osie 2, 3, 4 i 6. To jednak sposób długotrwały i niezbyt godny polecenia.
Lepiej jest policzyć wyznacznik macierzy. Będzie on wynosił jeden dla operacji nie zmieniającej chiralności (zmiany obiektu prawoskrętnego w lewoskrętny) albo minus jeden dla operacji zmieniających chiralność. Obrót i przesunięcie nie zmieniają chiralności a odbicie zwierciadlane, osie inwersyjne oraz środek symetrii tak i będą miały wyznacznik ujemny.
Dodatkowo można policzyć tzw. ślad macierzy czyli sumę elementów na głównej przekątnej. Ślad macierzy ( oznaczany trace lub tr) dla danej operacji symetrii nie zależy od orientacji elementu symetrii w przestrzeni.
Znajomość wyznacznika i śladu wystarcza do przypisania macierzy operacji symetrii, którą reprezentuje.
Jeżeli więc np. znamy jakąś prostą macierz opisująca operację symetrii, to możemy jej ślad porównać z śladem macierzy podanej w zadaniu. Na przykład dla obrotów o 180 st. i osi ustawionych wzdłuż X, Y i X+Y mamy macierze:
|1 0 0| |0 -1 0| |0 0 -1| |-1 0 0| |0 1 0| |0 0 -1| |0 1 0| |1 0 0| |0 0 -1|
Wszystkie mają det(A) = 1 i ślad tr(A) = -1.
Zagadka. Jaką operację symetrii opisuje macierz:
|0 0 1| |0 1 0| |1 0 0|
a) obrót o 180 stopni
b) płaszczyznę symetrii
c) odbicie w środku symetrii
d) identyczność
Można do tego dodać analizę wartości własnych macierzy opisujących operacje symetrii, co pozwala na okreslenie położenia osi bądź płaszczyzny symetrii.
W poprzednim komentarzu miałem na myśli raczej znalezienie wektorów własnych, a nie wartości własnych, które w przypadku macierzy przekształceń symetrii mogą być liczbami zespolonymi (1, -1, i, -i ogólnie exp(2(pi)i/n)).
Korzystając z okazji dołożę swoją zagadkę:
Poniżej przedstawiona macierz opisuje pewną operację symetrii. Jaką?
| 0 1 1|
|-1 0 0|
| 0 0 -1|
Przy okazji testowania kolejnych potęg macierzy. Dla jakiej potęgi operacji osi 3-krotnej inwersyjnej otrzymamy identyczność?
Dla czytelników samouków podam rozwiązania: w pierwszej macierzy ukryta jest płaszczyzna symetrii (odpowiedz b), a operacja -3 dla uzyskania identyczności wymaga podniesienia do potęgi szóstej.
Może jeszcze dodam tabelkę, w której mamy konkretne przypisanie operacji symetrii do śladu i wyznacznika macierzy (za ITCr vol. A, str. 812)
gdzie: liczby ujemne w dolnym wierszu, oznaczające osie inwersyjne, powinny być zastąpione cyframi z kreską u góry. Zwróćmy uwagę, że osie inwersyjne mają slad równy zanegowanemu śladowi osi rotacyjnych.