12 myśli nt. „Zag. 12. Wskaźniki Millera”

    1. Odpowiedź b nie jest dobra. Przypadek drugi jest nieco nietypowy, ponieważ płaszczyzna przechodząca przez podane punkty przechodzi również przez punkt (0 0 0). W takiej sytuacji “przecinanie innych osi” jest iluzoryczne, bo płaszczyzna rozpinana jest na wersorach a i b a podane wartości 2a 1/6b nie maja znaczenia, jeśli tylko nie są zerowe.

    2. Odpowiedź a jest właściwie prawidłowa, chociaż skłania do dyskusji – czego powinny dotyczyć indeksy Millera? Jeżeli tylko płaszczyzn sieciowych tzn. przechodzących przez węzły, to płaszczyzna przechodząca przez podane punkty nie przechodzi przez węzły sieci prymitywnej, choć może przechodzić przez węzły sieci centrowanej. Podane indeksy (120) dotyczą płaszczyzny równoległej, ale inaczej oddalonej od punktu (0, 0, 0).

      1. Poniższe uwagi dotyczą sieci prymitywnych.

        1. Wskaźniki Millera nie opisują pojedynczej płaszczyzny, ale rodzinę równoległych płaszczyzn sieciowych.

        2. Odpowieź do puntu a): (120) nie jest prawidłowa. Zdefiniowana w punkcie a) płaszczyzna opisana jest równaniem 2x+4y+0z=1, tzn. wskaźnikami (240), które nie są względnie pierwsze, a więc nie są wskaźnikami Millera.
        Wskaźniki (240) opisują rodzinę płaszczyzn równoległych do płaszczyzn rodziny (120), ale ułożonych dwa razy gęściej, tzn. co druga płaszczyzna rodziny (240) należy do rodziny (120).

        3. Odpowiedź na punkt b) jest (001).

        1. Mam jeszcze dwie uwagi.
          1. Czasami w opisie struktur kryształów molekularnych chcemy zdefiniować płaszczyzny, które nie przechodzą przez węzły sieci. Przykładowo na wysokości 1/4 c może występować płaszczyzna prostopadła do c, w której tworzą się wiązania wodorowe albo występuje dwuwymiarowy polimer koordynacyjny. Płaszczyzna taka będzie przecinać os c na wysokości 1/4c, a następna pojawi się na wysokości 5/4c. Nie możemy przypisać takim płaszczyznom indeksu (004), bo taka rodzina płaszczyzn miałaby cztery płaszczyzny w podanym zakresie. Do opisu musimy więc użyć konstrukcji typu: płaszczyzna (001) na wysokości 1/4c (i jej równoważne). Takie określenia płaszczyzn mają również zastosowanie przy wyznaczaniu grup warstwowych symetrii (zobacz tablice ITCr vol. E)
          2. Właściwie w punkcie b) odpowiedź równie dobrze mogłaby być (002) (003) itd. gdyż nie znamy odległości międzypłaszczyznowej a wszystkie podane płaszczyzny przechodzą przez podane w zadaniu punkty. Oczywiście przez węzły sieci prymitywnej przechodzi tylko (001).

          1. Pozostaje jeszcze pytanie, jak to wygląda od strony matematycznej. Równania kolejnych płaszczyzn w rodzinie o indeksach (hkl) uzyskuje się zastępując jedynkę po prawej stronie liczbą całkowitą, np, dla indeksów (2 3 5) mamy równania
            2x + 3y +5z = 1
            2x + 3y +5z = 2 itd.

            W przypadku opisanym powyżej, w równaniu należy zastosować odpowiednie przesunięcie środka układu współrzędnych. Dla rodziny płaszczyzn (0 0 1) na wysokości 1/4c równania będą wiec miały postać:
            0x + 0y +(z-1/4)/1 = 0
            0x + 0y +(z-1/4)/1 = 1
            0x + 0y +(z-1/4)/1 = 2.
            Zarówno odległości międzypłaszczyznowe jak i punkty przecięcia osi są prawidłowe.

  1. Mam pytanie dodatkowe związane z opisem płaszczyzn.
    Ile wynosi odległość między płaszczyznami opisanymi przez równia: hx+ky+lz=j1 oraz hx+ky+lz=j2, gdzie j1 i j2 są dowlnymi liczbami rzeczywistymi?

    1. Sformułowanie pytania jest może trochę zbyt ogólne, więc doprecyzuję. Odległość międzypłaszczyznowa, d, dla płaszczyzn sieciowych opisanych wskaźnikami Millera (hkl) jest równa odwrotności długości wektora sieci odwrotnej o tych samych wskaźnikach tzn. d=1/H. Powyższe pytania można więc sformułować następująco: jaki jest związek odległości międzypłaszczyznowej dla płaszczyzn opisanych równaniami hx+ky+lz=j1 oraz hx+ky+lz=j2 z długością wektora sieci odwrotnej, H, o współrzędnych hkl?

      1. Intuicja podpowiada, że odległość tych płaszczyzn będzie |j2 – j1| razy d. Czyli wektor odwrotny się tyle razy skróci (?)

          1. Pozostaje pytanie dlaczego tego nie widać w obrazie dyfrakcyjnym. Wygląda na to, że wszystkie tego typu punkty są systematycznie wygaszone.

  2. “Pozostaje pytanie dlaczego tego nie widać w obrazie dyfrakcyjnym. Wygląda na to, że wszystkie tego typu punkty są systematycznie wygaszone.”

    No właśnie. Generalnie podejście Bragga do dyfrakcji polegające na wyobrażeniu sobie, że promieniowanie rtg. jest odbijane przez jakieś płaszczyzny jest nieco – jakby to powiedzieć – sztuczne.
    Z fizycznego punktu widzenia promieniowanie jest rozpraszane przez atomy, co prowadzi do warunku Lauego. Do mnie najbardziej przemawia wektorowa postać tego warunku: S = H,
    gdzie S oznacza wektor dyfrakcji, a H wektor sieci odwrotnej.
    Równanie Bragga jest wówczas prostą matematyczną konsekwencją tego warunku.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Antyspam * Time limit is exhausted. Please reload CAPTCHA.