4 myśli nt. „Zag. 18. Macierze i symetria”

  1. Pierwsza część pytania jest prosta. Wystarczy policzyć wyznacznik i ślad dla każdej z macierzy. Ponieważ detA = 1 oraz trA = -1, oznacza to że operacje te stanowią obrót o 180 stopni (dla wszystkich trzech przypadków).
    Kwestia zamiany baz i dobrania nowego układu współrzędnych jest nieco bardziej złożona, ale też można sobie z nią poradzić, zwłaszcza gdy wykorzystamy gotowe możliwości obliczeniowe tkwiące w Internecie. Polecam zastosowanie strony http://www.wolframalpha.com
    gdzie po wpisaniu polecenia
    diagonalize{{-1,0,0},{-1,0,1},{-1,1,0}}
    lub samej macierzy {{-1,0,0},{-1,0,1},{-1,1,0}} i wciśnięciu ENTER otrzymamy sprowadzenie do macierzy diagonalnej. Wiemy, że najprostsze macierze dla osi 2 są diagonalne i zawierają na przekątnej dwa razy -1 i raz 1 (na tej współrzędnej która definiuje oś obrotu). Otrzymamy więc obliczony rozkład
    M = SDS-1, gdzie: M – badana macierz, S – macierz diagonalizująca (zawierająca w kolumnach wektory własne) D – macierz diagonalna, zawierająca niezerowe elementy tylko na przekątnej. Rozkład ten wykorzystamy do zamiany (transformacji) wektorów bazowych.
    W naszym przypadku

        1  1  0
    S = 0  1  1
        1  0  1
    
       -1  0  0 
    D = 0 -1  0
        0  0  1
    

    W nowym układzie współrzędnych operacja obrotu wokół trzeciej osi (nazwijmy ją c) będzie dana za pomocą proponowanej przez program macierzy diagonalnej D.
    D = S-1MS.
    M i D są sprzężone. Operacja symetrii M w innym układzie współrzędnych będzie opisana macierzą D. Powyższa macierz S jest od razu poszukiwaną macierzą transformacji wektorów bazowych. Dlaczego?
    Weźmy równanie Y = MX. Po zamianie bazy z kartezjańskiej [ijk] na [abc]=[ijk]S dzięki równościom R = [ijk][xyz]T = [abc]S-1[xyz]T = [abc][x’y’z’]T otrzymamy wzory na współrzędne Y=SY’ i X=SX’. Po podstawieniu SY’=MSX’ otrzymamy potwierdzenie równoważności operacji M i D : Y’ = S-1MSX’= DX’.
    Wektory bazowe obliczymy więc zgodnie z podaną powyżej formułą:
    [abc] = [ijk]S.
    Nowe współrzędne z kolei są dane jako:
    [xyz]Tabc = S-1[xyz]Tijk

    Odpowiedź dla macierzy pierwszej brzmi więc:
    operacja pierwsza może być sprowadzona do obrotu względem osi c (-x,-y,z) w układzie o wektorach bazowych
    [a,b,c] = [i +k, i +j, j+k]
    (będących kolumnami macierzy S).
    Nowe współrzędne przyjmują postać:
    x’ = 1/2(x-y+z), y’ = 1/2(x+y-z), z’ = 1/2(-x+y+z)

    Analogiczne rozważania można przeprowadzić dla pozostałych dwóch macierzy i albo uznać je za obrót o 180 stopni wokół osi c, albo za obrót wokół osi b lub a odpowiednio modyfikując (przestawiając) wektory bazowe.

  2. W tej zagadce chodziło mi, po pierwsze, o to czy wszystkie trzy macierze opisują przekształcenia symetrii w jednym i tym samym układzie współrzędnych i, po drugie, jaki to konkretnie układ współrzędnych, czyli np. a=b=c, &alfa;=β=γ=90° lub podobnie.

    1. Uwaga: niestety w poprzednim komentarzu ponownie popełniłem ten sam błąd, co w zagadce nr 6. Dokonywałem transformacji z zła stronę.
      Z analizy wyznacznika i śladu wynika, że w jednostkowym układzie kartezjańskim pierwsza operacja symetrii może być opisywana jest jako obrót wokół osi Z (-x,-y,z) macierzą D (pozostałe dwie też).
      Po zamianie współrzędnych macierzą T ([abc]=[ijk]*T)macierz D przejdzie w M = T-1DT, W rozkładzie macierzy wykonanym przez stronę Wolframalpha.com mieliśmy M = SDS-1, co oznacza, że macierzą transformacji baz jest nie T = S lecz T = S-1.
      Prawidłowa odpowiedź więc brzmi: pierwsza macierz opisuje obrót o 180 wokół osi Z w układzie współrzędnych danych jako
      a = 1/2[1 1 -1],
      b = 1/2[-1, 1,1],
      c = 1/2[1, -1,1].

      Daje to macierz metryczną:

           3/4  -1/4   -1/4
      G = -1/4   3/4   -1/4
          -1/4  -1/4    3/4
      

      Można sprawdzić, że jest dla niej spełniony warunek ortogonalności STGS = G, gdzie tym razem za S podstawimy dowolną z trzech macierzy z zagadki.

      W opisie czysto geometrycznym wszystkie trzy nowe wektory bazowe będą miały jednakową długość pierwiastek(3)/2 i będą położone pod kątem arccos(-1/3) = 109,47 ° czyli tetraedrycznym.
      Wynika to bezpośrednio z definicji wektorów w jednostkowej bazie kartezjańskiej, podanej powyżej.

      Możemy teraz zastosować tę samą zamianę baz dla pozostałych macierzy. Wykorzystamy przekształcony wzór
      M = S-1DS, i tym razem obliczymy pozostałe macierze D, sprzężone z macierzami z zadania. D = SMS-1, dają one w sumie operacje obrotu o 180 ° wokół kolejnych osi X, Y i Z. Mam nadzieję, że uniknąłem pomyłki w tych dość żmudnych rachunkach.

  3. Mam pytanie, do fragmentu odpowiedzi:

    “Odpowiedź dla macierzy pierwszej brzmi więc:
    operacja pierwsza może być sprowadzona do obrotu względem osi c (-x,-y,z) w układzie o wektorach bazowych
    [a,b,c] = [i +k, i +j, j+k]”

    bo nie jest on dla mnie jasny. Czy w układzie opartym na wektorach [abc] przekształcenie ma postać (-x,-y,z)?. Jest to przecież sprzeczne z postacią macierzy w układzie [abc], gdyż zgodnie z pytaniem (-x, -x+z,-x+y).

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Antyspam * Time limit is exhausted. Please reload CAPTCHA.