Archiwum kategorii: Zagadki Krystalograficzne

Zagadka 1. Rozpoznawanie operacji symetrii

Jednym z zadań treningowych opublikowanych dla przygotowujących się do Olimpiady Krystalograficznej jest rozpoznanie operacji symetrii na podstawie macierzy, reprezentującej tę operację. Zwykle te macierze są proste i zawierają tylko 0, 1 i -1. Problem polega na tym, że w zależności od położenia elementu symetrii względem osi  ta sama operacja symetrii może być opisana różnymi macierzami.  Jak więc sobie radzić?

Po pierwsze można pomnożyć macierz kilkukrotnie przez siebie i zobaczyć dla jakiej potęgi uzyskamy identyczność. Odpowiada to wykonywaniu złożenia kilku operacji symetrii. Tak można łatwo odróżnić os siebie macierze opisujące osie 2, 3, 4 i 6. To jednak sposób długotrwały i niezbyt godny polecenia.

Lepiej jest policzyć wyznacznik macierzy. Będzie on wynosił jeden dla operacji nie zmieniającej chiralności (zmiany obiektu prawoskrętnego w lewoskrętny) albo minus jeden dla operacji zmieniających chiralność. Obrót i przesunięcie nie zmieniają chiralności a odbicie zwierciadlane, osie inwersyjne oraz środek symetrii tak i będą miały wyznacznik ujemny.

Dodatkowo można policzyć tzw. ślad macierzy czyli sumę elementów na głównej przekątnej. Ślad macierzy ( oznaczany trace lub tr) dla danej operacji symetrii nie zależy od orientacji elementu symetrii w przestrzeni.
Znajomość wyznacznika i śladu wystarcza do przypisania macierzy operacji symetrii, którą reprezentuje.
Jeżeli więc np. znamy jakąś prostą macierz opisująca operację symetrii, to możemy jej ślad porównać z śladem macierzy podanej w zadaniu. Na przykład dla obrotów o 180 st. i osi ustawionych wzdłuż X, Y i X+Y mamy macierze:

|1  0  0|
|0 -1  0|
|0  0 -1|

|-1 0  0|
|0  1  0|
|0  0 -1|

|0 1  0|
|1 0  0|
|0 0 -1|

Wszystkie mają det(A) = 1 i ślad tr(A) = -1.

Zagadka. Jaką operację symetrii opisuje macierz:

|0  0  1|
|0  1  0|
|1  0  0|

a) obrót o 180 stopni
b) płaszczyznę symetrii
c) odbicie w środku symetrii
d) identyczność