Archiwum kategorii: Zagadki Krystalograficzne

Zag. 17. Osie niewłaściwe i rotoinwersyjne

W teorii grup punktowych funkcjonują dwie konwencje: międzynarodowa (krystalograficzna) i Schoenfliesa, bardziej popularna w chemii kwantowej i spektroskopii. Oznaczenia krystalograficzne bazują na rotacjach oraz rotoinwersjach, czyli złożeniach obrotu z inwersją. Teoria i znakowanie grup Schoefliesa używa operacji obrotu oraz obrotu niewłaściwego, który jest złożeniem obrotu z odbiciem w płaszczyźnie prostopadłej do osi. Oba podejścia są równoważne i zestaw rozważanych operacji symetrii jest taki sam, tylko ta sama operacja (reprezentowana taką samą macierzą) nazywana jest inaczej w obu konwencjach. Osie obrotów niewłaściwych oznacza się Sn (w krystalografi mamy zwykle tylko n = 1, 2, 3, 4 lub 6).
Jak najprościej poradzić sobie z zamianą notacji?
Jakie operacje rotoinwersji kryją się pod oznaczeniami: S1, S2, S3, S4 i S6?

Zag. 16. Współrzędne Webera w układzie heksagonalnym

Współrzędne Webera w układzie heksagonalnym (w dwu wymiarach).
Współrzędne wektora – nazwijmy go R – można przedstawić (tak jak w każdym innym układzie) jako odpowiednie rzuty równoległe wektora R = x*a1 + y*a2 na osie współrzędnych (rys. 1).

Rysunek 1

Czasami, ze względu na trójkrotną symetrię występującą w tym układzie, zamiast dwu osi współrzędnych X i Y używa się trzech osi: X, Y, T (rys.2). Są to tzw. współrzędne Webera. W tych współrzędnych wektor R można zapisać jako R = u*a1 + v*a2 + t*a3, a odpowiednie relacje między starymi a nowymi współrzędnymi są następujące: u = (2x – y)/3, v = (2y – x)/3, t = -(x +y). Z powyższych relacji wynika, że u + v + t = 0.

Rysunek 2

Jaka jest geometryczna interpretacja współrzędnych u, v, t? Nie może być to oczywiście rzutowanie równoległe (do odpowiednich osi współrzędnych) – jak to ma miejsce w przypadku współrzędnych x, y – bo istnieją dwie równoważne osie, wzdłuż których należałoby rzutować, co czyniłoby tę procedurę niejednoznaczną. Może należy wykonać rzutowanie równoległe wzdłuż jakichś innych linii, a może należy rzutować prostopadle do osi współrzędnych?
Andrzej Olczak

Zag. 15. Wygląd obrazu dyfrakcyjnego

Zagadka dotyczy obrazu dyfrakcji rejestrowanego przez płaski detektor typu CCD, jak na załączonym obrazku. Dlaczego odległość pozioma i pionowa do refleksów generowanych przez tak samo odległe od siebie rodziny płaszczyzn (np. 1,203 A)  nie jest taka sama? Innymi słowy: dlaczego dla danej odległości międzypłaszczyznowej nie mamy na zdjęciu okręgu?

Jarosław Chojnacki

RamkaCCD

Zag. 10. Parametr x w grupie polarnej

Dwaj doktoranci otrzymali gotowe dane pomiarowe
dla pewnego kryształu, ale każdy z nich samodzielnie dokonał redukcji danych, rozwiązania i udokładnienia struktury. Obaj prawidłowo określili parametry komórki elementarnej i grupę przestrzenną kryształu. Była to grupa Pc. Obaj uzyskali zbliżone wartości czynnika rozbieżności, GooF i – co ważne – parametru Flacka.
Parametr Flacka w obu przypadkach był w granicach błędu równy zero.
Zdziwili się jednak kiedy porównali swoje struktury, ponieważ okazało się, że nie są identyczne. Jedna ze struktur okazała się obrazem drugiej uzyskanym przez inwersję. Ale przecież środek symetrii nie jest przekształceniem należącym do grupy Pc.

Jak wyjasnić tę niezgodność struktur uzyskanych z tych samych danych pomiarowych i czy w ogóle opisana sytuacja jest możliwa?
Jeden ze studentów zrobił dodatkowo numeryczny eksperyment. Przekształcił współrzedne atomów przez inwersję i udokładnił je. Otrzymał wprawdzie strukturę zgodną ze strukturą kolegi, ale po udokładnieniu okazało się, że parametr Flacka jest w granicach błędu równy jedności.

Andrzej Olczak