W grupie symetrii P43212 występują osie dwukrotne zarówno zwyczajne jak i śrubowe. Elementy symetrii można z łatwością obejrzeć pod Mercurym, w opcji More info / Symmetry Operators List.
Mamy tam więc podane operacje obrotu śrubowego o 180°; zarówno w kierunku [001] jak i [100] czy [010] (czyli odpowiednio z, x i y). Mamy też podane obroty zwykłe działające po przekątnej, czyli w kierunku [110] i [-110]. Po wyświetleniu elementów symetrii (Display/ Symmetry elements) widać jednak, że w kierunkach przekątnych również działają dwukrotne osie śrubowe, których równania nie są wymienione na liście.
Jak będzie wyglądało równanie operacji symetrii, generowanej przez oś śrubową 21 przechodzącą przez punkty (1/2 0 0) i (1 1/2 0)?
Udzielając szybkiej odpowiedzi (korzystam tylko z ołówka i kartki papieru) wygląda na to, że pozycja równoważna wynikająca z zastosowania osi śrubowej wzdłuż wektora [110] przechodzącej przez punkt (1/2 0 0) przyjmie postać (y+1, x, -z). Uzasadnienie w następnym komentarzu.
Obrót o 180 stopni względem osi nieprzechodzącej przez początek układu współrzędnych można przedstawić jako złożenie obrotu (względem osi przechodzącej przez początek układu współrzędnych), nazwijmy go A, oraz translacji o wektor 2t, gdzie t opisuje położenie wyjściowej osi względem początku układu (oczywiście t jest prostopadły do osi). Można to przekształcenie zapisać jako (A, 2t). Jak łatwo zauważyć wektor t dla zadanej prostej jest równy 1/4 a – 1/4 b. Uwzględniając, że mamy do czynienia z osią śrubową do translacji 2t dochodzi translacja wzdłuż osi 1/2 a + 1/2 b, kŧórą dodając do wektora 2t otrzymamy: 1/2 a – 1/2 b + 1/2 a + 1/2 b = 1a. Czyli ostatecznie nasze przekształcenie przyjmuje postać: (A, a). Macierz obrotu A ma postać:
0 1 0
1 0 0
0 0 -1
Ostatecznie współrzędne punktu (x, y, z) po przekształceniu (A, a) przyjmują postać: (y+1, x, -z).
Tak jest. Wszystko się zgadza. Z postaci równania można się domyślać, dlaczego nie umieszczono go na liście operacji symetrii. Dodana translacja należy do wektorów sieciowych i uznano, że nie ma potrzeby wypisywania tej operacji jako osobnej, choć odpowiadający jej element symetrii przestaje być już osią zwyczajną.
Tradycyjnie należy jednak dodać inne rozwiązania, choćby jedno :-).
Jeżeli do osi śrubowej weźmiemy wektor translacji -1/2a i -1/2a to wyjdzie nam równanie (y,x-1,-z).
Mam tylko jedną uwagę terminologiczną: nie nazywałbym postaci pozycji równoważnej równaniem, bo równanie powinno mieć dwie strony powiązane znakiem równości.
Według mnie jest to równanie, operujące na wektorach, czyli właściwie trzy równania. x′ = y, y′ = x-1, z′ = -z. Jeżeli weźmiemy macierze rozszerzone o translacje (wymiaru 4×4) to mamy równanie r′= Ar. Oczywiście tutaj to równanie spełnia funkcję obliczania pozycji równoważnych, generowanych przez zadaną oś śrubową, więc w ostatnim zdaniu wyrażenie <kod symetrii określający pozycję równoważną (y,x-1,-z)> zamiast <równanie (y,x-1,-z)> byłoby rzeczywiście mniej kontrowersyjne. Dziękuję za tę uwagę, łatwo jest popaść z wyrażenia żargonowe.