Mamy dwa kody symetrii opisujące operacje obrotu śrubowego w układzie heksagonalnym:
(-y, x-y, z+1/3) oraz (-x+y, -x, z+1/3). Który z kodów odpowiada osi 31 a który 32? Jak to rozstrzygnąć?
Mamy dwa kody symetrii opisujące operacje obrotu śrubowego w układzie heksagonalnym:
(-y, x-y, z+1/3) oraz (-x+y, -x, z+1/3). Który z kodów odpowiada osi 31 a który 32? Jak to rozstrzygnąć?
Ponieważ w obu przypadkach współrzędna z będzie wynosić 1/3 musimy się zainteresować kierunkiem rotacji. W tym celu pominiemy translację na osi OZ i wykonamy operacje na wektorze jednostkowym osi OX.
Mamy więc:
oraz
W pierwszym przypadku oś OX przeszła w OY (obrót dodatni o 120 stopni), w drugim wersor osi OX przeszedł w wektor -OX-OY czyli oś dokonała obrotu w kierunku ujemnym. Pierwszy kod odpowiada więc operacji 31 a drugi 32.
Ponieważ nikt się zgłosił, to pozwolę sobie odpowiedzieć na to pytanie.
Po pierwsze, musimy pamiętać o dwóch konwencjach: (i) że używamy układów prawoskrętnych i, (ii) że obrót dodatni definiujemy jako przeciwny do ruchu wskazówek zegara, gdy patrzymy na płaszczyznę obrotu z “kierunku dodatniego” osi obrotu, czyli znad płaszczyzny obrotu.
Tu popatrzmy na rysunek. Oś OX biegnie w prawo, oś OY pod kątem 120 stopni biegnie do góry, a oś OZ (oś obrotu) jest do nich prostopadła i biegnie prostopadle do płaszczyzny wyznaczonej przez poprzednie osie nad płaszczyznę rysunku. Osie OX, OY i OZ tworzą układ prawoskrętny.
Teraz możemy zobaczyć jak przekształca się punkt o współrzędnych np. (1, 0, 0), dla wyodrębnionej punktowej części przekształcenia z podanych powyżej pozycji równoważnych (pomijamy wszelkie translacje).
Dla pozycji (-y, x-y, z) będzie to (0, 1, 0) (wektor bazowy a przekształca się w wektor b).
a dla pozycji (-x+y, -x, z) będzie to (-1, -1, 0) (wektor bazowy a przekształca się w wektor -a-b).
Czyli zgodnie z przyjętą konwencją (ii) łatwo zauważyć, że w pierwszym przypadku mamy do czynienia z obrotem o 120 stopni, a w drugim o 240 (-120) stopni.
A zatem, pierwsza pozycja, (-y, x-y, z+1/3), opisuje obrót o 120 stopni wokół osi 31, a druga pozycja, (-x+y, -x, z+1/3), opisuje obrót o 240 stopni wokół osi 32.
Co za ciekawa koincydencja. Zacząłem edytować odpowiedź przedwczoraj, ale z braku czasu dokończyłem ją dopiero dzisiaj nie widząc, że w tym czasie pojawiła się już prawidłowa odpowiedź.
Podsumujmy:
dla osi 31 mamy pozycje równoważne odpowiadające pierwszej i drugiej potędze operacji symetrii, odpowiednio: (-y, x-y, z+1/3) oraz (-x+y, -x, z+2/3).
dla osi 32 mamy pozycje równoważne odpowiadające pierwszej i drugiej potędze operacji symetrii, odpowiednio: (-y, x-y, z+2/3) oraz (-x+y, -x, z+1/3).
Widać jasno, że sama wartość translacji wzdłuż osi śrubowej nie stanowi dobrego kryterium przynależności do danego rodzaju osi.