Scharakteryzuj w pełni element symetrii generowany przez przekształcenie opisane pozycją równoważną: (-z+1/2, -x+2, y-1/2).
Andrzej Olczak
Scharakteryzuj w pełni element symetrii generowany przez przekształcenie opisane pozycją równoważną: (-z+1/2, -x+2, y-1/2).
Andrzej Olczak
Zacznijmy od rutynowych czynności. Zamieniamy kod na macierz Seitza i dla części 3×3 liczymy wyznacznik i ślad.
Mamy więc:
Wyznacznik Det(A) = 1, Tr(A) = 0, co oznacza oś obrotową, trójkrotną.
Podniesienie do trzeciej potęgi daje wektor translacji równy [-1, 1, 1] a więc jest to oś śrubowa i do tego położona po przekątnej (przestrzennej) komórki elementarnej, tak jak na rysunku w zadaniu 36.
Jeżeli chcemy poznać miejsce przecięcia płaszczyzny z = 0, to musimy oś śrubową zamienić na zwyczajną poprzez odjęcie ślizgu (1/3 wektora translacji otrzymanego poprzednio) i obliczyć współrzędne dla punktu przecięcia.
Mamy więc równanie pierwszej pozycji równoważnej dla osi zwykłej
(-z+1/2+1/3, -x+2-1/3, y-1/2-1/3) czyli (-z+5/6, -x + 5/3, y-5/6).
Po wstawieniu z = 0 otrzymujemy x = 5/6 oraz y = 5/6. Mamy więc oś równoległą do opisywanej w zadaniu 35. Pozostaje tylko wypowiedzieć się na temat kierunku działania: [-1 1 1] czy [1 -1 -1]. Symbol w tablicach odpowiada osi 32 w przeciwieństwie do poprzedniego.
A gdybyśmy nie mieli tablic pod ręką, to jak można by określić, czy jest to oś 32 a nie 31?
Spróbujmy wyznaczyć czy układ trzech wektorów d, e i f (czyli odpowiednio przed obrotem, po obrocie i wektor osi obrotu) stanowi układ prawoskrętny. W matematyce zwykle bada się to poprzez obliczenie wyznacznika macierzy, w której wierszami są kolejne wektory. Dodatni znak świadczy o układzie prawoskrętnym (oś 31) a ujemny o lewoskrętnym (oś 32).
Do obliczeń powinny wystarczyć nam wektory swobodne, bez konieczności wnikania w punkty zaczepienia.
Dla uproszczenia jako d weźmy wektor [1 0 0], który nie jest równoległy do osi obrotu.
Końcowy punkt wektora (100) przechodzi w (1/2 1 -1/2), początkowy (000) przechodzi w (1/2 2 -1/2). Po zastosowaniu operacji określonej przez podaną pozycję równoważną (po obrocie) otrzymamy więc współrzędne wektora swobodnego e [0,-1, 0]. Mamy do obliczenia wyznacznik z macierzy:
Wynosi on -1 a więc mamy układ lewoskrętny. Wskazuje to na oś 32.
Wygląda na to, że wyboru kierunku osi sprowadza się do akceptacji wektora, który powstaje po wzięciu potęgi operacji równej krotności osi, tu potęgi trzeciej.
Jeżeli będziemy rozpatrywać przeciwny kierunek osi tzn. [1 -1 -1], to oznaczać będzie poruszanie się w druga stronę po helisie.
Wystarczy zamiast pozycji równoważnej podanej w zadaniu wziąć pozycję równoważną będącą odwrotnością podanej operacji. Po zamianie na macierz Seitza, będzie to po prostu macierz odwrotna do tej podanej w pierwszym komentarzu. Można użyć Excela.
Otrzymujemy więc pozycję równoważną odpowiadającą potędze (-1):
(-y+2, z+1/2, -x+1/2).
Łatwo sprawdzić, że trzecia potęga tego równania (lub -3 równania oryginalnego) daje translację o wektor sieciowy [1 -1 -1].
No to teraz sprawdźmy jaką otrzymamy skrętność helisy idąc wzdłuż [1 -1 -1].
Do obrotu weźmy tym razem wektor d prostopadły do [1 -1 -1] czyli d = [1 1 0]. Inny wybór też byłby dobry, o ile unikniemy równoległości do osi obrotu.
Pozycja równoważna końca wektora (110) po obrocie to (1 1/2 -1/2).
Pozycja równoważna początku (000) to (2 1/2 1/2).
Wektor swobodny po obrocie będzie miał współrzędne e = [-1 0 -1].
Konstruujemy wyznacznik dla trójki def:
i otrzymujemy det{def}= -3. Układ lewoskrętny.
Ponownie wskazuje to na oś 32, zgodnie z Tablicami.
Tak więc typ osi 31 czy 32 otrzymamy prawidłowo niezależnie od założonego kierunku działania osi.
Warto zauważyć, że wzięcie odwrotności operacji prowadzi do punktu na tej samej helisie, ale wzięcie operacji z zanegowanymi tylko translacjami prowadzi do punktu na helisie o przeciwnej skrętności.