39. Kombinacja operacji śrubowych

Jeżeli dokonamy obrotu śrubowego o 90 stopni wokół osi 41 ułożonej wzdłuż osi OY, a następnie takiego samego obrotu śrubowego wokół osi OX, to jakie przekształcenie powstanie w wyniku takiego złożenia dwu przekształceń? Obie osie przechodzą przez początek układu współrzędnych.

Andrzej Olczak

11 komentarzy do “39. Kombinacja operacji śrubowych

  1. Najpierw równania. Aby zachować charakter osi musimy je rotować cyklicznie. Z operacji 41 dla osi OZ typu (-y, x, z+1/4) po rotacji współrzędnych xyz->yzx otrzymujemy kod dla osi wzdłuż OX (x+1/4, -z, y) oraz po podwójnej rotacji xyz-> zxy dla osi wzdłuż OY (z, y+1/4, -x). Złożenie operacji obrotu o oś położoną wzdłuż OY a potem OX, tu można użyć macierzy Seitza oraz Excela, daje następujący kod symetrii (z+0.25, x, y +0.25).
    Jak wskazuje analiza wyznacznika i śladu jest to oś trójkrotna. Trzecia potęga daje operację (x+0.5, y+0.5, z+0.5) czyli translację o wektor [1/2 1/2 1/2].
    Rzeczywiście, trudno było tego oczekiwać… Wygląda na to, że taka kombinacja może występować w grupach regularnych typu cI. Oś 30.5? Chyba jednak trzeba pozostać przy symbolu 31 i zaakceptować dziwne konsekwencje faktu, że węzły sieci centrowanej nie muszą mieć współrzędnych całkowitych.

    1. To jest dość ciekawa transformacja. Jeżeli byłaby ona generowana przez oś trójkrotną, to jak ta oś jest położona względem początku układu?

      1. Skoro wektor translacji po pełnym obrocie wynosi [1/2 1/2 1/2] to aby uzyskać rotację zwyczajną musimy odjąć 1/3 tego wektora w operacji (z +1/4, x, y +1/4).
        Najlepiej operować ułamkami z 12 w mianowniku.

        Mamy więc:
        z + 1/4 -1/6 = z +1/12
        x -1/6 = x – 2/12
        y +1/4 – 1/6 = y + 1/12
        Tak więc kod symetrii dla obrotu zwykłego to (z +1/12, x- 2/12, y+1/12).
        Otrzymujemy więc punkty przecięcia głównych płaszczyzn:
        (0, -2/12, -1/12) dla x=0 (a)
        (2/12, 0 , 1/12) dla y = 0 (b)
        (1/12, -1/12, 0 ) dla z=0, (c)
        Prosta przechodzi po kolei przez (a) (c) i (b), co widać gdy zrobimy rysunek. Świadczą o tym również jednolite inkrementy współrzędnych równe [1/12, 1/12, 1/12].

        Ciekawe, czy ten układ elementów symetrii faktycznie występuje w jakiejś grupie przestrzennej?

        1. Jeszcze jedno dadatkowe pytanie: jak powinny być rozmieszczone wspomniane osie czterokrotne, aby wynikowa oś trójkrotna przechodziła przez początek układu współrzednych.

          1. Może spójrzmy na diagram pasującej tu (na pierwszy rzut oka) grupy przestrzennej I4132.
            Układ współrzędnych jest taki, że początek układu współrzędnych jest w lewym górnym rogu, oś 0X biegnie w dół a oś 0Y w prawo.

            Grupa nr 214

            Wygląda na to, że osie śrubowe 41 w kierunku OX oraz OY są na różnej wysokości, a więc nie przecinają się. Nasze zadnie jest więc innym układem. Ciąg dalszy nastąpi.

  2. No dobrze. Zamiast poszukiwać tego motywu w grupach przestrzennych weźmy się za ręczne rozwiązanie problemu.
    Wiemy, że płaszczyzna (xy) jest przecinana przez oś 3 w punkcie (1/12, -1/12, 0).
    Zastosujmy więc te przesunięcia do osi. Aby skorygować położenie zera oś 41 działającą w kierunku OY możemy odsunąć w kierunku OX o wektor p = (-1/12, 1/12, 0) albo nawet (-1/12, 0 , 0) (w kierunku OY jest niezmiennicza).
    Z kolei oś działającą zgodnie z OX przesuniemy w kierunku OY p = (0, 1/12, 0). Oba przesunięcia odbędą się na podstawie wzoru Q = Tp R T-p wyprowadzonego wcześniej.
    Otrzymujemy więc następujące kody przesuniętych osi:
    oś 41 OY (z-1/12, y+1/4, -x-1/12)
    oś 41 OX (x+1/4, -z+1/12, y-1/12).
    Ich złożenie daje kod: (z +1/6, x + 1/6, y +1/6),
    który po odjęciu translacji śrubowej (1/3 z [1/2 1/2 1/2]) daje kod (z, x, y), czyli oś 3 przechodzącą przez środek układu współrzędnych (000).
    Sytuację przedstawiają poniższe rysunki. Środek układu na przecięciu osi czterokrotnych śrubowych:
    Osie przecinaja sie w 000
    Środek układu na osi 31:
    Os 3 przesunieta do zera

  3. Pozostały jeszcze trzy pytania dla dociekliwych:
    a) co otrzymamy, jeśli odwrócimy kolejność działania osi 41, najpierw OX, potem OY?
    b) co otrzymamy, jeśli użyjemy kolejnych potęg operacji dla tych samych osi?
    Interesuje nas jaka krotność osi powstanie i jakie orientacje będą miały te osie.
    c) w jakiej grupie przestrzennej zawarty jest ten układ?

    1. Pytanie z podpunktu c) wydaje się kluczowe. Mam na myśli oczywiście te dwie osie przecinające się w poczatku układu współrzędnych. Nie przegladałem tablic, ale intuicja mi podpowiada, że nie ma grupy przestrzennej, w której taki układ osi by istniał.

      1. W zasadzie to powinienem napisać stanowczo, że nie ma grupy przestrzennej, w której taki układ osi by istniał, bo przecież nie ma osi trójkrotnej śrubowej z translacją o 1/6. Ale chodzi mi tutaj o to jak wykazać, że taka oś nie może pojawić się w krysztale. Bądź co bądź pojawiają się w grupach centrowanych takie elementy symetrii jak płaszczyzny poślizgu diamentowe z translacją o 1/4.

      2. Sprawdzenie Tablic nie jest aż tak trudne, bo wystarczy przejrzeć tylko diagramy układu regularnego. Dodatkowo odpadają grupy zawierające osie czterokrotne inwersyjne. Rzeczywiście znalazłem jedynie przecinające się osie czterokrotne śrubowe różnego typu: 41 z 43. Można sprawdzić, że dają one po złożeniu oś 3 ale rotacji zwykłej – nie śrubowej. Taki układ osi czterokrotnych, przecinających się na wysokości z = 1/4, występuje w grupach F4132 (nr 210) oraz Fd(-3)m (nr 227). Dodatkowo można znaleźć również przecinające się osie śrubowe 42 z 42.

        Ciekawe, że złożenie 41 (OX) z translacją [1/2, 1/2, 1/2] daje przesuniętą oś 43. Zamiana kolejności operacji w złożeniu daje też oś 43 ale inaczej położoną. Widać to zresztą na diagramie grupy I4132 przedstawionym powyżej. Cóż, nazwa zawierająca symbol 41 jest nieco myląca, ale zgodna z konwencją, że jeśli występują obie osie, to podaje się tylko 41. (Podobnie jak oś 21 nie jest wymieniana w symbolu C2/c).

        Widocznie przecinanie się osi 41 jak w zadaniu nie może występować w sieciach translacyjnych, bo generuje w konsekwencji niezgodność z siecią, chociaż translacja [1/2, 1/2, 1/2] może występować w układzie regularnym. Trzeba poszukać czegoś przekonującego.

        Może pomocne będzie kolejne złożenie operacji symetrii.
        Złożenie powstałej operacji < 30.5 > ponownie z operacją 41 (OX) daje operację o kodzie (y +1/4, x +1/4, -z+1/4) która jest osią śrubową dwukrotną działającą po przekątnej, której druga potęga daje [1/2, 1/2, 0] a więc znowu wektor o niecałkowitych współrzędnych. Skoro równoważne translacyjne węzły będą o położeniach (0,0,0), (1/2,1/2,0) oraz (1/2,1/2,1/2) to oznacza, że sieć translacyjna jest dwa razy gęstsza i wówczas osie 41 przestają mieć sens i zyskują nazwę 42. To chyba rozwiązuje problem.

Skomentuj Andrzej Olczak Anuluj pisanie odpowiedzi

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Antyspam * Time limit is exhausted. Please reload CAPTCHA.