Operacja obrotu o kąt 120 stopni wokół osi o kierunku zgodnym z sumą wektorów bazowych układu romboedrycznego a+b+c, jest dana prostą zależnością polegającą na zamianie (rotacji) współrzędnych. W postaci kodu symetrii pozycji równoważnych można to opisać jako (z, x, y). W postaci macierzowej mamy:
| 0 0 1| | 1 0 0| | 0 1 0|
Jak będzie wyglądała ta operacja symetrii dla układu współrzędnych zdefiniowanego w osiach heksagonalnych? (a’ = b’, kąt (a’, b’) = 120 stopni, wektor c’ prostopadły do a’ i b’).
J. Chojnacki
Obrót o 120 stopni wokół osi skierowanej wzdłuż wektora a+b+c w układzie romboedrycznym, stanie się obrotem wokół wektora c’ w heksagonalnym układzie współrzędnych ponieważ te wektory (czyli a+b+c oraz c’) są równoległe. Teraz wystarczy skorzystać z ogólnej reguły konstruowania macierzy operacji symetrii, która polega na tym, że sprawdzamy jakie współrzędne będą mieć wektory bazowe (w tym wypadku a’, b’ i c’) po wykonaniu na nich operacji symetrii i zapisaniu ich w postaci kolumn. Jak łatwo zauważyć wektor a’ po obrocie o 120 stopni przejdzie w wektor b’, czyli bedzie miał współrzędne [0 1 0], wektor b’ po obrocie będzie miał współrzędne [-1 -1 0], a wektor c’ będzie miał współrzędne [0 0 1]. Zapisując te współrzędne w postaci kolumn otrzymamy ostatecznie poszukiwaną macierz obrotu o 120 stopni w układzie heksagonalnym w postaci:
|0 -1 0|
|1 -1 0|
|0 0 1|
.
Bardzo dobrze. Jeżeli jednak ktoś chciałby zapoznać się z macierzową wersją rozwiązania tego zadania to proszę zerknąć na poniższy plik pdf. Dzięki temu podejściu poznamy również sposób na przeliczanie współrzędnych oraz indeksów Millera płaszczyzn zdefiniowanych w “osiach romboedrycznych” i “osiach heksagonalnych”.