Zagadka 2. Wskaźniki Millera ścian czworościanu foremnego

Oto zadanie przysłane przez Andrzeja Olczaka.

Jakimi wskaźnikami Millera opisane są ściany czworościanu foremnego ABCD (załączony rysunek:c_2) w układzie współrzędnych, w którym osie X, Y i Z leżą wzdłuż trzech trójkrotnych osi symetrii tego czworościanu?

2 komentarze do “Zagadka 2. Wskaźniki Millera ścian czworościanu foremnego

  1. Odpowiedź.

    ściana ABC – (1 1 1)
    ściana ABD – (1 1 -3)
    ściana BCD – (-3 1 1)
    ściana ADC – (1 -3 1)

    Rozwiązanie.

    Podstawą rozwiązania jest fakt, że wysokości w czworościanie foremnym (które – jak widać na rysunku – leżą na osiach X, Y i Z), przecinają się w punkcie O, który dzieli te wysokości na odcinki o stosunku długości 3:1. W konsekwencji poszczególne ściany przecinają odpowiednie osie w punktach o współrzędnych 1 lub -1/3 (Rys. 2).

    Z kolei fakt podziału w stosunku 3:1 łatwo stwierdzić zauważając, że objętość wyjściowego czworościanu można przedstawić jako sumę objętości czterech jednakowych ostrosłupów, których podstawami są ściany wyjściowego czworościanu, a ich wierzchołki leżą w punkcie przecięcia wysokości (punkt O) wyjściowego czworościanu.
    _________________

    Można również rozwiązać to zadanie w inny sposób. Ponieważ osie układu współrzędnych pokrywają się z osiami trójkrotnymi czworościanu można wskaźniki trzech ścian uzyskać jako transformacje wskaźników ściany (111). Np. macierz obrotu o 120 stopni wokół osi OZ dla wskaźników (hkl) ma postać:

    -1 -1 -1
    1 0 0
    0 0 1

    co umozliwia obliczenie wskaźników ściany BCD – (-311) i
    po dwukrotnym zastosowaniu – ściany ADC – (1-31).

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Antyspam * Time limit is exhausted. Please reload CAPTCHA.