Oto zadanie przysłane przez Andrzeja Olczaka.
Jakimi wskaźnikami Millera opisane są ściany czworościanu foremnego ABCD (załączony rysunek:c_2) w układzie współrzędnych, w którym osie X, Y i Z leżą wzdłuż trzech trójkrotnych osi symetrii tego czworościanu?
Odpowiedź na zagadkę pojawi się za tydzień, czyli 23 maja.
Odpowiedź.
ściana ABC – (1 1 1)
ściana ABD – (1 1 -3)
ściana BCD – (-3 1 1)
ściana ADC – (1 -3 1)
Rozwiązanie.
Podstawą rozwiązania jest fakt, że wysokości w czworościanie foremnym (które – jak widać na rysunku – leżą na osiach X, Y i Z), przecinają się w punkcie O, który dzieli te wysokości na odcinki o stosunku długości 3:1. W konsekwencji poszczególne ściany przecinają odpowiednie osie w punktach o współrzędnych 1 lub -1/3 (Rys. 2).
Z kolei fakt podziału w stosunku 3:1 łatwo stwierdzić zauważając, że objętość wyjściowego czworościanu można przedstawić jako sumę objętości czterech jednakowych ostrosłupów, których podstawami są ściany wyjściowego czworościanu, a ich wierzchołki leżą w punkcie przecięcia wysokości (punkt O) wyjściowego czworościanu.
_________________
Można również rozwiązać to zadanie w inny sposób. Ponieważ osie układu współrzędnych pokrywają się z osiami trójkrotnymi czworościanu można wskaźniki trzech ścian uzyskać jako transformacje wskaźników ściany (111). Np. macierz obrotu o 120 stopni wokół osi OZ dla wskaźników (hkl) ma postać:
-1 -1 -1
1 0 0
0 0 1
co umozliwia obliczenie wskaźników ściany BCD – (-311) i
po dwukrotnym zastosowaniu – ściany ADC – (1-31).