4 komentarze do “Zag. 11. Sieć odwrotna do cF

  1. Aby się o tym przekonać, że sieć odwrotna do sieci typu F jest siecią centrowaną typu I, przypatrzmy się wpierw obu typom sieci przedstawionym w takich bazach wektorowych, w których opisane są one przez komórki elementarne typu P.

    Oznaczmy wektory bazowe sieci typu F jako: a, b, c.
    Aby skonstruować komórkę prymitywną można jako końce
    wektorów bazowych wybrać węzły centrujące poszczególne ściany sąsiadujęce z początkiem układu współrzędnych. Jeżeli te nowe wektory oznaczymu jako: a’, b’, c’, to wyrażą się one następująco przez wektory a, b, c:

    a’ = 1/2(b + c)
    b’ = 1/2(c + a)
    c’ = 1/2(a + b)

    Podobnie dla sieci typu I oznaczmy wektory definiujące
    sieć prymitywną jako: a”, b”, c” i zdefiniujmy je tak, że łączą poczatek układu współrzędnych z odpowiednimi węzłami
    centującymi objętościowo tę sieć. Można te wektory wybrać następująco:

    a” = 1/2(-a + b + c)
    b” = 1/2( a – b + c)
    c” = 1/2( a + b – c)

    Sieć odwrotną najłatwiej jest skonstruować posługując się prymitywną komórką elementarną.
    W takim przypadku sieć odwrotna do sieci typu F zgodnie z definicją będzie będzie oparta na wektorach:

    a’* = 1/V’ (b’ x c’)
    b’* = 1/V’ (c’ x a’)
    c’* = 1/V’ (a’ x b’)

    gdzie x oznacza iloczyn wektorowy, a V’ objetość komórki prymitywnej.

    Jeżeli wykonamy te iloczyny wektorowe podstawiając za a’, b’ i c’ odpowiednie wyrażenia, to okaże się, że otrzymamy wektory, które są proporcjonalne do wektorów a”, b” i c”, czyli do wektorów definiujące sieć typu I. QED.

    1. Ja rozwiązałem ten problem nieco innym sposobem, choć idea jest ta sama. Po wybraniu trzech wektorów bazowych w sieci ściennie centrowanej F jako a1= [1/2 1/2 0], a2=[0 1/2 1/2] i a3=[1/2 0 1/2] , ustawiłem je jako wiersze w macierzy A.
      |1/2 1/2 0|
      |0 1/2 1/2|
      |1/2 0 1/2|
      W przestrzeni odwrotnej powinna im odpowiadać macierz wektorów bazowych sieci odwrotnej, która musi być odwrotna do macierzy z przestrzeni rzeczywistej, A-1, zapewnia to ortogonalność tych wektorów.
      Po odwróceniu macierzy A otrzymałem:
      | 1 -1 1|
      | 1 1 -1|
      |-1 1 1|
      Wektory bazowe przestrzeni odwrotnej są w kolumnach tej macierzy
      b1*=[1 1 -1]
      b2*=[-1 1 1]
      b3*=[1 -1 1]
      Są to wektory bazowe sieci centrowanej typu I o stałych sieciowych a*, b*, c* równych 2. Można się o tym łatwo przekonać, gdyż:
      [2 0 0] = b1* + b3*
      [0 2 0] = b1*+ b2*
      [0 0 2] = b2*+b3*
      [2 0 0 ] + b2* = [1 1 1] (centrowanie) itd.

      Dodać należy jeszcze, że ten sposób działa prawidłowo tylko dla współrzędnych wektorów wyrażonych w bazie ortonormalnej.

      1. Porównajmy stwierdzenia:
        1) sieć odwrotna do sieci regularnej centrowanej typu F jest siecią centrowaną typu I
        2) wygaszenia systematyczne powodowane przez sieć regularną F powodują pojawianie się refleksów tylko o wskaźnikach spełniających jednocześnie warunki: h+k = 2n, h + l = 2n i k + l = 2n (n – liczba całkowita; wszystkie indeksy parzyste lub wszystkie nieparzyste).
        Różnica w treści jest tu chyba niewielka. Siec zbudowana w oparciu o niewygaszone refleksy ma węzły położone tak jak w sieci centrowanej przestrzenie (typu I). Oczywiście pojęcie sieci odwrotnej jest szersze i nie musi byc odnoszone do sieci dyfrakcyjnej.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Antyspam * Time limit is exhausted. Please reload CAPTCHA.