Zag. 13 Składanie obrotów i przesunięć

Jakie przekształcenie powstanie w wyniku złożenia
obrotu o 180 stopni wokół osi Z oraz obrotu o 180 stopni wokół osi równoległej do osi Z przecinającej płaszczyznę XY w punkcie o współrzędnych (x0, y0, 0)?

Anrzej Olczak

6 komentarzy do “Zag. 13 Składanie obrotów i przesunięć

  1. Najprościej chyba znaleźć macierze tych przekształceń i pomnożyć przez siebie. Ponieważ najpierw jest obrót o “centralną” oś a potem o tę przesuniętą, więc macierz złożenia tych przekształceń powstanie poprzez pomnożenie macierzy obrotu przesuniętego przez macierz obrotu wokół osi Z.
    Jak wygląda to przesunięte przekształcenie obrotu? Wystarczy zbadać punty stałe tego obrotu. Centralny obrót wykonywany jest przez (-x, -y, z), a przesunięty obrót będzie miał postać (-x + a, -y + b, z). Dla punktu stałego przesuniętego obrotu wokół (x0, y0, 0) muszą być spełnione warunki x’=x oraz y’=y. Mamy więc a=2x0 oraz b=2y0.
    Teraz już można znaleźć odpowiedź na powyższą zagadkę. Odpowiednie rachunki pokazują, że złożenie podanych operacji daje translację o wektor (2x0, 2y0,0).
    Warto zauważyć, że zamiana kolejności przekształceń daje translację o wektor o przeciwnym zwrocie tj. (-2x0, -2y0, 0).

    1. Doskonała odpowiedź. Ale mam jeszcze nieco ciekawsze przypadki:

      1. Jakie przekształcenie powstanie w wyniku złożenia odbicia z poślizgiem (1/2b) względem płaszczyzny prostopadłej do osi X oraz odbicia z poślizgiem (1/2a) względem płaszczyzny prostopadłej do osi Y? Obie płaszczyzny przechodzą przez początek układu współrzędnych i są do siebie prostopadłe.

      2. Jakie przekształcenie powstanie w wyniku złożenia obrotu o 120 stopni (wokół osi przechodzącej przez początek układu współrzędnych) z translacją o wektor sieciowy a?

      1. Użyjemy macierzy 4×4.
        Pierwszą operację opisuje macierz
        | -1 0 0 0|
        | 0 1 0 1/2|
        | 0 0 1 0 |
        | 0 0 0 1 |

        Drugą:
        | 1 0 0 1/2|
        | 0 -1 0 0 |
        | 0 0 1 0 |
        | 0 0 0 1 |
        Wynik mnożenia druga*pierwsza daje
        |-1 0 0 1/2|
        | 0 -1 0 -1/2 |
        | 0 0 1 0 |
        | 0 0 0 1 |
        co stanowi dwukrotną oś obrotu równoległą do Z przechodzącą przez punkt (1/4 -1/4 0).

        1. Odnośnie punku 1 warto sprawdzić, że jak zmienimy kolejność operacji to znaki przesunięć ulegną zamianie.

          Co do punktu 2, jeżeli założyć, że oś obrotu była równoległa do Z to macierz operacji symetrii przyjmie np. postać (zakładając kierunek obrotu w lewo):

          |-1/2 pierw(3)/2 0 0|
          |-pierw(3)/2 -1/2 0 0|
          | 0 0 1 0|
          | 0 0 0 1|

          (bo cos(120) = -1/2, sin(120) = pierwiastek(3)/2).
          Odpowiednie rachunki pokazują, że złożenie translacji (a) z obrotem daje macierz

          |-1/2 pierw(3)/2 0 -1/2|
          |-pierw(3)/2 -1/2 0 -pierw(3)/2|
          | 0 0 1 0|
          | 0 0 0 1|

          Odpowiada to przesunięciu osi 3 do innego punktu, którego współrzędne wyznaczymy z definicji punktu stałego.
          Z obliczeń wychodzi punkt (-1/2, -pierw(3)/6, 0) w ortogonalnym układzie współrzędnych. Zakładając odwrotny kierunek rotacji pewnie otrzymamy nieco inny wynik.
          Tak więc nie jest to proste podzielenie stałych z macierzy przez dwa, nie można zbyt szybko uogólniać…

          1. Nic dodać, nic ująć. Choć dla drugiego przykładu można użyć współrzędnych krystalograficznych zamiast ortonormalnego układu współrzędnych, ale oczywiście to niczego nie zmienia. Formalizm macierzy 4×4 ma swój urok. Czyż matematyka nie jest piękna?

  2. No dobrze. Jeśli już o pięknie mowa, to właściwie zastosowanie współrzędnych krystalograficznych (tzn. wersorów osi układu heksagonalnego) generuje kolejne piękno, bo unikamy niewymierności w macierzy symetrii. Mając osie a i b rozchylone o kąt 120 stopni operacja obrotu 3 upraszcza się do operacji na współrzędnych (x’, y’, z’) = (-y, x-y, z). Napiszmy więc to w postaci macierzy 4×4, a następnie pomnożymy przez macierz translacji o a.
    |0 -1 0 0|
    |1 -1 0 0|
    |0 0 1 0|
    |0 0 0 1|
    W wyniku otrzymujemy
    |0 -1 0 1|
    |1 -1 0 0|
    |0 0 1 0|
    |0 0 0 1|
    macierz, w której część 3×3 jest taka jak dla obrotu 3, ale pojawiła się dodatkowa translacja po osi a, co było do przewidzenia,
    Teraz wyznaczymy punkty stałe spełniające równania
    x’= -y + 1,
    y’ = x – y,
    z’ = z (dowolny)
    dostając x = 2/3 i y = 1/3
    Wniosek. Otrzymujemy ponownie obrót 3 z osią przesuniętą do (2/3, 1/3, z) we współrzędnych heksagonalnych. Występowanie takich przesuniętych osi 3 możemy sprawdzić w Tablicach Krystalograficznych IUCr (np. P3, grupa numer 143).

Skomentuj Chojnacki Anuluj pisanie odpowiedzi

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Antyspam * Time limit is exhausted. Please reload CAPTCHA.