Do jakiego układu krystalograficznego należy grupa punktowa generowana przez oś trójkrotną i prostopadłą do niej płaszczyznę symetrii i dlaczego?
Andrzej Olczak
Do jakiego układu krystalograficznego należy grupa punktowa generowana przez oś trójkrotną i prostopadłą do niej płaszczyznę symetrii i dlaczego?
Andrzej Olczak
Do układu heksagonalnego, ponieważ kombinacja tych dwóch elementów symetrii generuje sześciokrotną oś inwersyjną.
Uzasadnienie.
Sposób pierwszy.
Mnożymy macierz obrotu osią 3 wokół z lewostronnie przez macierz odbicia od płaszczyzny prostopadłej do z.
|1 0 0| |0 -1 0|
|0 1 0| |1 -1 0|
|0 0 -1| |0 0 1|
i otrzymujemy macierz:
|0 -1 0|
|1 -1 0|
|0 0 -1|
Teraz, aby dowiedzieć się co to za operacja symetrii, skorzystamy ze sposobu z zagadki nr jeden i obliczymy wyznacznik i ślad macierzy. Wyznacznik wynosi -1, a ślad (suma elementów na przekątnej) -2. Z tabelki odczytujemy, że jest to operacja -6, czyli przekształcenie symetrii powodowane przez oś sześciokrotną inwersyjną.
Sposób drugi.
Rozbijamy przekształcenie odbicia zwierciadlanego względem płaszczyzny prostopadłej do z jako złożenie inwersji i obrotu o 180 stopni dookoła osi z. Teraz nasza operacja jest zdefiniowana jako złożenie i*2*3. Operacja 2*3 to obrót o 120 + 180 stopni czyli o 300 stopni. Jest to operacja generująca oś 6-krotną (właściwie odwrotność 6, ale skoro jest 6-1 to w grupie musi być również 6). Złożenie i*6 daje operację obrotu inwersyjnego o 60 stopni, co chcieliśmy pokazać.
To wszystko prawda, ale ja cały czas nie rozumiem dlaczego ta grupa należy do układu heksagonalnego. Można ją nazwać “-6”, co sugerowałoby tę przynależność, ale można ją nazwać również “3/m” lub “~3” (grupa generowana przez obrót zwierciadlany), co sugerowałoby przynależność do układu trygonalnego.
Faktycznie grupa -6 nie zawiera zwykłej osi sześciokrotnej. No, ale podobnie grupa P-4 (nr 81) nie zawiera osi czterokrotnej (ani zwykłej ani śrubowej) a zaliczana jest do układu tetragonalnego. W Międzynarodowych Tablicach Krystalograficznych używa się tylko symbolu -6 i ten mankament jest mniej widoczny.
Tak więc przypisanie grupy -6 do układu heksagonalnego to sprawa czystej konwencji, bo równie dobrze mogłaby to być grupa układu trygonalnego. Zaczynam rozumieć tych którzy nie uznają podziału na układ trygonalny i heksagonalny.