4 komentarze do “Zag. 18. Macierze i symetria”

1. Pierwsza część pytania jest prosta. Wystarczy policzyć wyznacznik i ślad dla każdej z macierzy. Ponieważ detA = 1 oraz trA = -1, oznacza to że operacje te stanowią obrót o 180 stopni (dla wszystkich trzech przypadków).
   Kwestia zamiany baz i dobrania nowego układu współrzędnych jest nieco bardziej złożona, ale też można sobie z nią poradzić, zwłaszcza gdy wykorzystamy gotowe możliwości obliczeniowe tkwiące w Internecie. Polecam zastosowanie strony http://www.wolframalpha.com
   gdzie po wpisaniu polecenia
   diagonalize{{-1,0,0},{-1,0,1},{-1,1,0}}
   lub samej macierzy {{-1,0,0},{-1,0,1},{-1,1,0}} i wciśnięciu ENTER otrzymamy sprowadzenie do macierzy diagonalnej. Wiemy, że najprostsze macierze dla osi 2 są diagonalne i zawierają na przekątnej dwa razy -1 i raz 1 (na tej współrzędnej która definiuje oś obrotu). Otrzymamy więc obliczony rozkład
   M = SDS^-1, gdzie: M – badana macierz, S – macierz diagonalizująca (zawierająca w kolumnach wektory własne) D – macierz diagonalna, zawierająca niezerowe elementy tylko na przekątnej. Rozkład ten wykorzystamy do zamiany (transformacji) wektorów bazowych.
   W naszym przypadku

       1  1  0
   S = 0  1  1
       1  0  1
   
      -1  0  0 
   D = 0 -1  0
       0  0  1
   

   W nowym układzie współrzędnych operacja obrotu wokół trzeciej osi (nazwijmy ją c) będzie dana za pomocą proponowanej przez program macierzy diagonalnej D.
   D = S^-1MS.
   M i D są sprzężone. Operacja symetrii M w innym układzie współrzędnych będzie opisana macierzą D. Powyższa macierz S jest od razu poszukiwaną macierzą transformacji wektorów bazowych. Dlaczego?
   Weźmy równanie Y = MX. Po zamianie bazy z kartezjańskiej [ijk] na [abc]=[ijk]S dzięki równościom R = [ijk][xyz]^T = [abc]S^-1[xyz]^T = [abc][x’y’z’]^T otrzymamy wzory na współrzędne Y=SY’ i X=SX’. Po podstawieniu SY’=MSX’ otrzymamy potwierdzenie równoważności operacji M i D : Y’ = S^-1MSX’= DX’.
   Wektory bazowe obliczymy więc zgodnie z podaną powyżej formułą:
   [abc] = [ijk]S.
   Nowe współrzędne z kolei są dane jako:
   [xyz]^T_abc = S^-1[xyz]^T_ijk

   Odpowiedź dla macierzy pierwszej brzmi więc:
   operacja pierwsza może być sprowadzona do obrotu względem osi c (-x,-y,z) w układzie o wektorach bazowych
   [a,b,c] = [i +k, i +j, j+k]
   (będących kolumnami macierzy S).
   Nowe współrzędne przyjmują postać:
   x’ = 1/2(x-y+z), y’ = 1/2(x+y-z), z’ = 1/2(-x+y+z)

   Analogiczne rozważania można przeprowadzić dla pozostałych dwóch macierzy i albo uznać je za obrót o 180 stopni wokół osi c, albo za obrót wokół osi b lub a odpowiednio modyfikując (przestawiając) wektory bazowe.

   Odpowiedz

2. W tej zagadce chodziło mi, po pierwsze, o to czy wszystkie trzy macierze opisują przekształcenia symetrii w jednym i tym samym układzie współrzędnych i, po drugie, jaki to konkretnie układ współrzędnych, czyli np. a=b=c, &alfa;=β=γ=90° lub podobnie.

   Odpowiedz

   1. Uwaga: niestety w poprzednim komentarzu ponownie popełniłem ten sam błąd, co w zagadce nr 6. Dokonywałem transformacji z zła stronę.
      Z analizy wyznacznika i śladu wynika, że w jednostkowym układzie kartezjańskim pierwsza operacja symetrii może być opisywana jest jako obrót wokół osi Z (-x,-y,z) macierzą D (pozostałe dwie też).
      Po zamianie współrzędnych macierzą T ([abc]=[ijk]*T)macierz D przejdzie w M = T^-1DT, W rozkładzie macierzy wykonanym przez stronę Wolframalpha.com mieliśmy M = SDS^-1, co oznacza, że macierzą transformacji baz jest nie T = S lecz T = S^-1.
      Prawidłowa odpowiedź więc brzmi: pierwsza macierz opisuje obrót o 180 wokół osi Z w układzie współrzędnych danych jako
      a = 1/2[1 1 -1],
      b = 1/2[-1, 1,1],
      c = 1/2[1, -1,1].

      Daje to macierz metryczną:

           3/4  -1/4   -1/4
      G = -1/4   3/4   -1/4
          -1/4  -1/4    3/4
      

      Można sprawdzić, że jest dla niej spełniony warunek ortogonalności S^TGS = G, gdzie tym razem za S podstawimy dowolną z trzech macierzy z zagadki.

      W opisie czysto geometrycznym wszystkie trzy nowe wektory bazowe będą miały jednakową długość pierwiastek(3)/2 i będą położone pod kątem arccos(-1/3) = 109,47 ° czyli tetraedrycznym.
      Wynika to bezpośrednio z definicji wektorów w jednostkowej bazie kartezjańskiej, podanej powyżej.

      Możemy teraz zastosować tę samą zamianę baz dla pozostałych macierzy. Wykorzystamy przekształcony wzór
      M = S^-1DS, i tym razem obliczymy pozostałe macierze D, sprzężone z macierzami z zadania. D = SMS^-1, dają one w sumie operacje obrotu o 180 ° wokół kolejnych osi X, Y i Z. Mam nadzieję, że uniknąłem pomyłki w tych dość żmudnych rachunkach.

      Odpowiedz

3. Mam pytanie, do fragmentu odpowiedzi:

   “Odpowiedź dla macierzy pierwszej brzmi więc:
   operacja pierwsza może być sprowadzona do obrotu względem osi c (-x,-y,z) w układzie o wektorach bazowych
   [a,b,c] = [i +k, i +j, j+k]”

   bo nie jest on dla mnie jasny. Czy w układzie opartym na wektorach [abc] przekształcenie ma postać (-x,-y,z)?. Jest to przecież sprzeczne z postacią macierzy w układzie [abc], gdyż zgodnie z pytaniem (-x, -x+z,-x+y).

   Odpowiedz