Jaką macierzą opisany jest obrót o kąt α wokół osi OZ w przestrzeni
czterowymiarowej?
A. Olczak
6 komentarzy do “Zag 25. Obrót w czterech wymiarach”
Weźmy dla uproszczenia obrót o kąt 180 stopni. Ja w pierwszym odruchu bym po prostu dodał do normalnej macierzy obrotu w 3D wiersz 0 0 0 1.
Czyli
-1 0 0 0
0 -1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Oczywiście, wówczas ślad wyniesie zero, nie -1 tak jak w 3D.
Mam jednak pewne wątpliwości czy dla obrotu wokół osi nie powinna być spełniona niezmienniczość tylko dla punktów leżących na osi OZ.
Wówczas musiałbym zmodyfkować przepis dla obrotu na
-1 0 0 0
0 -1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 -1
Tu jednak mamy ujemny wyznacznik, co oznaczałoby zmianę skrętności układu współrzędnych na skutek obrotu. Sprawa nie jest więc oczywista…
Najpierw drobna uwaga do stwierdzenia: “Tu jednak mamy ujemny wyznacznik, co oznaczałoby zmianę skrętności układu współrzędnych na skutek obrotu.”
Czasem mówi się o przekształceniach aktywnych, bądź pasywnych. Te pierwsze odnoszą się do przekształceń przestrzeni, a te drugie do przekształceń układu współrzędnych.
Przekształcenia symetrii w krystalografii traktuje się na ogół jako przekształcenia aktywne, więc w takim przypadku trudno mówić o zmianie skrętności układu, nawet jeśli macierz przekształcenia ma wyznacznik równy -1, bo układ współrzędnych jest ciągle ten sam. Oczywiście jeśli potraktujemy tę samą macierz jako macierz przekształcenia pasywnego, to skrętność układu się zmieni.
Tak, no rzeczywiście, to skrętność obiektu się zmieni a nie układ odniesienia. To dość niezręczny i właściwie błędny skrót myślowy. Miałem na myśli drugi zestaw wersorów będących obiektem przekształcenia.
Pytanie jednak zawiera pewien haczyk. Właściwie w przestrzeni 4D nie ma obrotów wokół osi. O ile na płaszczyźnie mamy obroty wokół punktu (obiekt 0D), a w przestrzeni 3D mamy obrót wokół osi (1D) to nie powinno budzić zdziwienia, że obrót w 4D jest wokół płaszczyzny (tworu dwuwymiarowego). Wniosek z tego, że obrót w 4D prawidłowo opisuje pierwsza z proponowanych macierzy, która ma wyznacznik +1.
“Właściwie w przestrzeni 4D nie ma obrotów wokół osi”
To bardzo słuszna uwaga. Nasze intuicje pochodzące z dwu i trzech wymiarów mogą być mylące. Pozostaje nam niezawodna algebra.
Izometrie w przestrzeniach n-wymiarowych definiuje się tak samo jak dla przestrzeni niżej wymiarowych jako przekształcenia zachowujące odległość między punktami. Wówczas macierze tych przekształceń (w układzie współrzędnych ortonormalnych) są ortogonalne, czyli spełniają warunek AAT = 1. Co oznacza, że macierz odwrotna, A-1, do macierzy A jest równa macierzy transponowanej do A. Podobnie macierze obrotów właściwych mają wyznacznik równy 1.
Ciekawe jest pytanie ile niezależnych obrotów występuje w przestrzeni n-wymiarowej. Okazuje się, że sposród n2 wyrazów macierzy o wymiarach nxn opisującej obrót tylko n(n-1)/2 jest niezależnych, ponieważ macierze te spełniają n(n+1)/2 niezależnych warunków ortogonalności (AAT = 1). Rzeczywiście, n2 – n(n+1)/2 = n(n-1)/2. Czyli dokładnie tyle, na ile sposobów można z n współrzędnych wybierać dwie współrzędne – a dwie współrzędne definiują zawsze dwuwymiarową płaszczyznę. Tak więc w 2D mamy 2×1/2 = 1 obrót niezależny, w 3D 3×2/2 = 3 obroty niezależne, a w 4D 4×3/2 = 6 obrotów niezależnych (sześć niezależnych płaszczyzn w których można dokonywać obrotu).
Wracając do zacytowanego na początku zdania, obrotu nie należy traktować jako przekształcenia “wokół osi”, ale raczej jako przekształcenie “w płaszczyźnie”, a czasami nawet w niejednej płaszczyźnie, bo w 4D możemy mieć np. obrót postaci:
To ciekawy przykład. Biorąc na przykład α = β = 180 ° mamy obrót w sumie o 360 stopni a obiekt nie wraca do pierwotnej postaci. Dopiero obrót o 720 ° daje identyczność. Jakoś dziwnie przypomina to własności obiektów kwantowych czy np. spinu.
Warto też zauważyć, że powyższy obrót reprezentowany jest przez macierz jednostkową pomnożoną przez -1, czyli jakby odbicie w środku symetrii, które jest obrotem. Teraz jednak zdziwienie powinno być mniejsze, gdyż w symetriach płaskich (w 2D) również odbicie w środku symetrii było identyczne z obrotem, wówczas o 180 °.
Ciekawe spostrzeżenie dotyczące spinu, ale to chyba przypadkowa zbieżność. Zmiana znaku funkcji spinowej pod wpływem obrotu o 360 ° dotyczy jednak obrotów w 3D. Ta właściwość spinu znajduje swój wyraz w tym, że grupą opisującą symetrie tych funkcji jest grupa SU(2) a nie grupa SO(3).
Weźmy dla uproszczenia obrót o kąt 180 stopni. Ja w pierwszym odruchu bym po prostu dodał do normalnej macierzy obrotu w 3D wiersz 0 0 0 1.
Czyli
Oczywiście, wówczas ślad wyniesie zero, nie -1 tak jak w 3D.
Mam jednak pewne wątpliwości czy dla obrotu wokół osi nie powinna być spełniona niezmienniczość tylko dla punktów leżących na osi OZ.
Wówczas musiałbym zmodyfkować przepis dla obrotu na
Tu jednak mamy ujemny wyznacznik, co oznaczałoby zmianę skrętności układu współrzędnych na skutek obrotu. Sprawa nie jest więc oczywista…
Najpierw drobna uwaga do stwierdzenia: “Tu jednak mamy ujemny wyznacznik, co oznaczałoby zmianę skrętności układu współrzędnych na skutek obrotu.”
Czasem mówi się o przekształceniach aktywnych, bądź pasywnych. Te pierwsze odnoszą się do przekształceń przestrzeni, a te drugie do przekształceń układu współrzędnych.
Przekształcenia symetrii w krystalografii traktuje się na ogół jako przekształcenia aktywne, więc w takim przypadku trudno mówić o zmianie skrętności układu, nawet jeśli macierz przekształcenia ma wyznacznik równy -1, bo układ współrzędnych jest ciągle ten sam. Oczywiście jeśli potraktujemy tę samą macierz jako macierz przekształcenia pasywnego, to skrętność układu się zmieni.
Tak, no rzeczywiście, to skrętność obiektu się zmieni a nie układ odniesienia. To dość niezręczny i właściwie błędny skrót myślowy. Miałem na myśli drugi zestaw wersorów będących obiektem przekształcenia.
Pytanie jednak zawiera pewien haczyk. Właściwie w przestrzeni 4D nie ma obrotów wokół osi. O ile na płaszczyźnie mamy obroty wokół punktu (obiekt 0D), a w przestrzeni 3D mamy obrót wokół osi (1D) to nie powinno budzić zdziwienia, że obrót w 4D jest wokół płaszczyzny (tworu dwuwymiarowego). Wniosek z tego, że obrót w 4D prawidłowo opisuje pierwsza z proponowanych macierzy, która ma wyznacznik +1.
“Właściwie w przestrzeni 4D nie ma obrotów wokół osi”
To bardzo słuszna uwaga. Nasze intuicje pochodzące z dwu i trzech wymiarów mogą być mylące. Pozostaje nam niezawodna algebra.
Izometrie w przestrzeniach n-wymiarowych definiuje się tak samo jak dla przestrzeni niżej wymiarowych jako przekształcenia zachowujące odległość między punktami. Wówczas macierze tych przekształceń (w układzie współrzędnych ortonormalnych) są ortogonalne, czyli spełniają warunek AAT = 1. Co oznacza, że macierz odwrotna, A-1, do macierzy A jest równa macierzy transponowanej do A. Podobnie macierze obrotów właściwych mają wyznacznik równy 1.
Ciekawe jest pytanie ile niezależnych obrotów występuje w przestrzeni n-wymiarowej. Okazuje się, że sposród n2 wyrazów macierzy o wymiarach nxn opisującej obrót tylko n(n-1)/2 jest niezależnych, ponieważ macierze te spełniają n(n+1)/2 niezależnych warunków ortogonalności (AAT = 1). Rzeczywiście, n2 – n(n+1)/2 = n(n-1)/2. Czyli dokładnie tyle, na ile sposobów można z n współrzędnych wybierać dwie współrzędne – a dwie współrzędne definiują zawsze dwuwymiarową płaszczyznę. Tak więc w 2D mamy 2×1/2 = 1 obrót niezależny, w 3D 3×2/2 = 3 obroty niezależne, a w 4D 4×3/2 = 6 obrotów niezależnych (sześć niezależnych płaszczyzn w których można dokonywać obrotu).
Wracając do zacytowanego na początku zdania, obrotu nie należy traktować jako przekształcenia “wokół osi”, ale raczej jako przekształcenie “w płaszczyźnie”, a czasami nawet w niejednej płaszczyźnie, bo w 4D możemy mieć np. obrót postaci:
co można by nazwać obrotem podwójnym.
To ciekawy przykład. Biorąc na przykład α = β = 180 ° mamy obrót w sumie o 360 stopni a obiekt nie wraca do pierwotnej postaci. Dopiero obrót o 720 ° daje identyczność. Jakoś dziwnie przypomina to własności obiektów kwantowych czy np. spinu.
Warto też zauważyć, że powyższy obrót reprezentowany jest przez macierz jednostkową pomnożoną przez -1, czyli jakby odbicie w środku symetrii, które jest obrotem. Teraz jednak zdziwienie powinno być mniejsze, gdyż w symetriach płaskich (w 2D) również odbicie w środku symetrii było identyczne z obrotem, wówczas o 180 °.
Ciekawe spostrzeżenie dotyczące spinu, ale to chyba przypadkowa zbieżność. Zmiana znaku funkcji spinowej pod wpływem obrotu o 360 ° dotyczy jednak obrotów w 3D. Ta właściwość spinu znajduje swój wyraz w tym, że grupą opisującą symetrie tych funkcji jest grupa SU(2) a nie grupa SO(3).