Zag. 17. Osie niewłaściwe i rotoinwersyjne

W teorii grup punktowych funkcjonują dwie konwencje: międzynarodowa (krystalograficzna) i Schoenfliesa, bardziej popularna w chemii kwantowej i spektroskopii. Oznaczenia krystalograficzne bazują na rotacjach oraz rotoinwersjach, czyli złożeniach obrotu z inwersją. Teoria i znakowanie grup Schoefliesa używa operacji obrotu oraz obrotu niewłaściwego, który jest złożeniem obrotu z odbiciem w płaszczyźnie prostopadłej do osi. Oba podejścia są równoważne i zestaw rozważanych operacji symetrii jest taki sam, tylko ta sama operacja (reprezentowana taką samą macierzą) nazywana jest inaczej w obu konwencjach. Osie obrotów niewłaściwych oznacza się Sn (w krystalografi mamy zwykle tylko n = 1, 2, 3, 4 lub 6).
Jak najprościej poradzić sobie z zamianą notacji?
Jakie operacje rotoinwersji kryją się pod oznaczeniami: S1, S2, S3, S4 i S6?

4 myśli nt. „Zag. 17. Osie niewłaściwe i rotoinwersyjne”

  1. Krótka uwaga terminologiczna. Wydaje mi się, że terminy “oś niewłaściwa” czy “obrót niewłaściwy” w stosunku do obrotów połączonych z odbiciem zwierciadlanym są trochę mylące. Te określenia mogłyby się odnosić do obu w zagadce wspomnianych typów osi czy obrotów. Wydaje mi się, że bardziej odpowiednie byłoby użycie terminów “oś zwierciadlana” i “obrót zwierciadlany”.

    1. Rzeczywiście, też uważam, że terminy “oś zwierciadlana” i “obrót zwierciadlany” są bardziej precyzyjne i należałoby je preferować. Dodam, że w literaturze panuje dość duży bałagan w dziedzinie nazywania osi Sn.
      Pojęcie “osie niewłaściwe” używa (tłumacz ksiązki) F.A. Cotton “Teoria grup. Zastosowania w chemii”, PWN Warszawa 1973,
      “osie obrotowo-odbiciowe” używają K. Mathiak i P. Stiegl w “Teoria grup dla chemików” PWN Warszawa 1978,
      “osie przemienne” używane są w książkach: W. Starodub, A. Michalak “Metody teorii grup w chemii”, WNT Warszawa 2013 oraz A. Bielański “Podstawy Chemii Nieorganicznej” WN PWN 1994

      1. To jeszcze do dam, że w “Mechanice Kwantowej” Landaua i Lifszyca (w polskim tłumaczeniu) używa się określenia “oś zwierciadlana”. Z literatury stricte krystalograficznej np. Schwarzenbach w swoim podręczniku “Crystallography” używa określeń “rotoinversion” i “rotoreflection”.

  2. Może wróćmy do oryginalnego pytania. Moim zdaniem najprostsze przejście między poszczególnymi operacjami symetrii uzyskamy przedstawiając płaszczyznę m jako dwukrotną oś rotoinwesji -2= 2*i i składając odpowiednio przekształcenia.
    Obecnie cyframi będę oznaczał macierze obrotu, a symbol Rot oznacza rotację (1 = Rot(360°), 2 = Rot(180°), 3 = Rot(120°) 4 = Rot(90°), 6 = Rot(60°). Ze względu na trudności edytorskie osie inwersyjne będę oznaczał minusem przed symbolem osi zamiast nad nim.

    Mamy więc:

    S1 = 1*(-2) = m

    S2 = 2*2i = Rot(180°)*Rot(180°)*i=(-1)

    S3 =3*(-2) = Rot(120°)*Rot(180°)*i= Rot(300°)*i = 65 i

    S4 =4*(-2) = Rot(90°)*Rot(180°)*i= Rot(270°)*i = 43 i

    S6 =6*(-2) = Rot(60°)*Rot(180°)*i= Rot(240°)*i = 35 i

    Pozostawiam pytanie dlaczego pojawia się (-3)5 a nie (-3)2 dociekliwości własnej czytelnika.

    Tak więc jeżeli chodzi o identyczność macierzy to mamy:
    S1 = (-2)
    S2 = (-1)
    S3 =(-6)5
    S4 =(-4)3
    S6 =(-3)5

    Ponieważ jednak grupa zawierająca (-6)5, zwiera również (-6) (lub odpowiednio (-3)5 i (-3) czy (-4)3 i (-4)) zwykle mówi się o równoważności S3 =(-6) i S6 =(-3). Rzeczywiście są to przedstawiciele tej samej klasy operacji symetrii. Jeżeli zatem ktoś chciałby skorzystać z tablic charakterów reprezentacji nieprzywiedlnych wydrukowanych w symbolice Schoenfliesa dla klas symetrii krystalograficznych, to powinien tylko w miejsce operacji Sn wstawić oznaczenia odpowiednich osi rotoinwersji.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Antyspam * Time limit is exhausted. Please reload CAPTCHA.