2 komentarze do “Zag. 33. Położenie osi inwersyjnych”

1. Jak łatwo się domyśleć, macierz powyższego przekształcenia (po pozbyciu się translacji o 1 wzdłuż osi OZ) jest następująca:

    0  1  0
   -1  1  0
    0  0 -1 
   

   Zmieniając znaki wszystkich wyrazów tej macierzy otrzymamy macierz odpowiadającą obrotowi właściwemu (wyznacznik = 1) o 120 °. Następnie rozwiązując równanie własne

    |0  -1  0||x|=|x|
    |1  -1  0||y|=|y|
    |0   0  1||z|=|z|
   

   które musi być spełnione dla punktów leżących na osi obrotu,
   otrzymujemy: –y = x, x-y = y, z = z. W efekcie x = 0, y = 0 oraz z może przyjmować dowolną wartość, co oznacza, że obrót następuję wokół osi OZ.

   Odpowiedz

2. Bardzo dobrze. Wyznaczanie kierunku należy poprzedzić (oprócz usunięcia translacji) mnożeniem przez macierz inwersji, bo inaczej z równania własnego otrzymamy współrzędne środka symetrii.
   P.S. Można też zastosować bardziej automatyczną metodę i znaleźć wektor własny dla wartości własnej równej jeden. Dla leniwych oznacza to wpisanie do serwisu WolframAlpha końcowej macierzy
   {{0, -1, 0}, {1,-1,0},{0, 0, 1}} i stwierdzenie że w rozkładzie M = SJS^-1, wartości własnej 1 (pierwsza na diagonali w J) odpowiada wektor własny [0 0 1]^T będący pierwszą kolumną macierzy S. Proszę sprawdzić skuteczność metody dla innej osi obrotu 3 opisanej kodem (-y, z, -x).

   Odpowiedz