Zag.19. Symetria i macierze

Zagadka podobna do poprzedniej, ale to nie to samo.
Czy poniższe macierze mogą opisywać przekształcenia
symetrii? Jakie i w jakich układach współrzędnych?

1  1  0
0  1  0
0  0 -1

1  1  0
0  1  1
0  0  1

1  0  0
0 -1  1
0  0 -1

J. Chojnacki
 

4 myśli nt. „Zag.19. Symetria i macierze”

  1. Nie ma takiego układu współrzędnych, w którym macierze te opisywałyby przekształcenia symetrii.
    Postać macierzy opisującej przekształcenie izometryczne (w tym symetrię) zależy od tego przekształcenia oraz układu współrzędnych, w którym macierz ta jest wyrażona. Każda macierz O opisująca przekształcenie izometryczne musi w układzie współrzędnych, w którym jest wyrażona, spełniać warunek: OT*G*O = G, gdzie OT oznacza macierz transponowaną, a G macierz metryczną wyrażoną oczywiście w tym samym układzie współrzędnych (zagadka 6). Wstawiając do tej relacji za O jedną z macierzy wymienionych w zagadce dostajemy warunek na poszczególne wyrazy macierzy G. Dla każdej z przedstawionych macierzy okazuje się, że jeden z elementów diagonalnych tej macierzy jest równy zero. Dla przykładu jeżeli g11= a2 = 0 to wektor bazowy a musiałby mieć długość równą zero, co jest sprzeczne z samą definicją układu współrzędnych.

    1. Bardzo dobra odpowiedź. Podałem przykłady tych macierzy, aby pokazać, że warunek detA = +/- 1 oraz całkowitość śladu (dla symetrii krystalograficznych zachowujących translacje sieciowe) to warunki konieczne, ale nie wystarczające do tego, aby macierz o współczynnikach -1, 0 i 1 była macierzą opisującą operację symetrii.

      1. Dodajmy informację, co powoduje, że takie operacje nie będą składowymi grup krystalograficznych. Jeżeli operacja ma być składową skończonej grupy punktowej, to powinna mieć własność taką, że dla pewnej liczby całkowitej n (n co najwyżej 6) złożenie n operacji powinno dać identyczność An = I. Macierze niespełniające takiego warunku (dla dowolnego n) nazywamy beztorsyjnymi.
        Macierzami beztorsyjnymi (zawierającymi tylko -1, 0 i 1) będą takie operatory, które na przekątnej zawierają tzw. klatki Jordana o wymiarze co najmniej 2. Klatki Jordana dla wymiarów 2 i 3 stanowią macierze typu:
        |a 1|
        |0 a|
        lub
        |a 1 0|
        |0 a 1|
        |0 0 a|
        czyli taka sama liczba a na przekątnej (wartość własna, u nas a = 1 lub a = -1) i jedynki powyżej przekątnej. Łatwo można się przekonać rachunkowo, że składanie takich operacji nie prowadzi do uzyskania macierzy jednostkowej. Jest to więc sposób alternatywny do pełnej analizy macierzy metrycznej (tensora metrycznego) przedstawionej poprzednio w dyskusji.

  2. Warto dodać, że operacje grup przestrzennych, w odróżnieniu od punktowych, mogą zawierać operacje nieskończonego rzędu. Takimi operacjami są zarówno czyste translacje jak i operacje osi śrubowych czy płaszczyzn ślizgowych. Te macierze można przekształcić do postaci zawierającej jedynki nad diagonalą (z jedną klatką Jordana 2×2). Tak więc, pierwsza macierz, po zamianie wierszy, może być potraktowana w pewnej bazie jako macierz rozszerzona dla wymiaru 2D:

    -1 0 0 
     0 1 1
     0 0 1
    

    i opisywać odbicie ślizgowe na płaszczyźnie. Odbicie prostopadłe do osi OX i ze ślizgiem w kierunku 0Y. (Dla celów krystalograficznych należałoby zmienić długość wektorów bazowych, aby ślizg był 1/2 b co zapewni identyczność wszystkich komórek elementarnych.)
    Oczywiście jest to operacja beztorsyjna i żadna potęga tej operacji nie daje przekształcenia identycznościowego.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Antyspam * Time limit is exhausted. Please reload CAPTCHA.